Skal man differentiere summen/differensen mellem to differentiable funktioner $latex f(x)$ og $latex g(x)$, skal man bruge sum-/differensreglen. Mens skal man differentiere en funktion, som er ganget med en konstant, så skal man bruge konstantreglen.

Sum-/differensreglen

Skal man differentiere summen (differensen) af to differentiable funktioner, skal man bruge sumreglen (differensreglen). Hvis $latex h(x)$ er en differentiabel funktion bestående af summen/differensen af $latex f(x)$ og $latex g(x)$, så gælder det, at

$$h(x)=f(x)\pm g(x) \rightarrow h'(x)=f'(x)\pm g'(x)$$

Dvs. man differentierer hvert led for sig selv.

I nedenstående video kan du se beviset for sumreglen. Hvis du har gejsten, kan du på tilsvarende vis prøve at bevise differensreglen. Det vil sige for $latex h(x)=f(x)-g(x)$. 

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/11/bevis.mp4"][/video]

Eksempel

Vi ønsker at differentiere $latex h(x)$ mht. $latex x$:

$$h(x)=7x+3x^4$$

Vi kan dele ligningen op således, at $latex f(x)=7x$ og $latex g(x)=3x^4$. Ved at differentiere de to ligninger, får vi

$$ f'(x)=7 \quad g'(x)=12x^3$$

Ved differentiering af $latex h(x)$, skal vi altså bare lægge de to sammen. Dvs.

$$h'(x)=7+12x^3$$

Konstantreglen

Hvis vi skal differentiere en funktion, der er ganget med en konstant, så skal vi KUN differentiere funktionen og lade konstanten stå. Hvis vi antager, at $latex g(x)$ er en differentiabel funktion og $latex k$ er en konstant, så gælder det, at

$$f(x)=k\cdot g(x) \rightarrow f'(x)=k\cdot g'(x)$$

Selve beviset for sætningen kan ses i videoen herunder.

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/11/bevis-dif-gange-med-konstant.mp4"][/video]

Eksempel

Vi ønsker at differentiere $latex h(x)$ mht. $latex x$:

$$h(x)=10\cdot \sqrt{x}$$

Da en 10 er en konstant, kan vi bare lade den stå. Så vi skal kun differentiere $latex \sqrt{x}$. Dvs.

$$h'(x)=10\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{5}{\sqrt{x}}$$