Retvinklet trekant

I dette afsnit vil vi mest beskæftige os med trekanter og deres egenskaber.

En trekant afgrænses af 3 linjestykker. Linjernes skæringspunkter kalder man for vinkelspidser og betegnes ofte med bogstaverne \(A\), \(B\) og \(C\). Linjestykkerne som forbinder vinkelspidserne, kaldes for trekantens sider eller kateter. Vinkelsummen i enhver trekant er på 180 grader.

En trekant kaldes for en retvinklet trekant, hvis den indeholder en vinkel på præcis 90 grader og stumpvinklet, hvis en af vinklerne er over 90 grader.

Skærmbillede 2013-10-27 kl. 1.57.36 AM

Den grønne trekant er retvinklet, firkanten i vinkel \(C\) angiver at vinklen er ret. I den gule trekant ses at vinkel \(C\) er stump. Vinkel \(C\)’s modstående side, kaldes ofte for hypotenusen. Den længste side i en trekant kaldes altid for hypotenusen.

 Skærmbillede 2013-10-27 kl. 11.24.59 AM

Areal for en retvinklet trekant

En retvinklet trekant har arealet: 

\(T=\frac{1}{2}ab\)

Tager vi udgangspunkt i den grønne trekant foroven, kan vi altså beregne dens areal ved at gange 1/2 med grundfladen \(a\) og højden \(b\). Dvs.

\(T=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot4\cdot3=6\)

Arealet af ovenstående trekant er altså 6.

Pythagoras læresætning

Pythagoras sætning angår forholdet mellem længden af siderne i en retvinklet trekant. Den lyder: Summen af kateternes kvadrater, i en retvinklet trekant, er lig med kvadratet på hypotenusen. I symbolsk notation:

\(a^2+b^2=c^2\)

Bevis

 

Vi kan nu med udgangspunkt i Pythagoras læresætning beregne hypotenusen \(c\) i den retvinklede grønne trekant.

Skærmbillede 2013-10-27 kl. 11.24.59 AM

Vi tager udgangspunkt i formlen og indsætter de kendte værdier.

\(a^2+b^2=c^2\leftrightarrow \sqrt{a^2+b^2}=c\)

\(4^2+3^2=c^2\leftrightarrow\sqrt{4^2+3^2}=5\)

Vi ser altså at hypotenusen er 5 i den grønne retvinklede trekant.

2 Kommentarer

  1. Christian Bruhn Andersen

    Har de her retvinkel trekanter, Som sagt store A er 27grader og lille c er 5, beregn lille a og store b og lille b. spørgsmålet er bare ved ikke hvordan man laver formelen vh Chirstian.

    Svar
  2. Jonathan Lindahl

    Hej Christian

    Vi kan starte med at beregne vinklen til B. Du ved, at A er 27 grader. Da du har med en retvinklet trekant at gøre, ved du også at C er 90 grader. Vinklen til B må derfor være:
    $$\angle B=180-27-90=63$$

    For at beregne lille a og lille b, skal du tage udgangspunkt i ligningerne fra denne side: https://matlet.dk/sinus-cosinus-og-tangens/. F.eks. for lille a skal du bruge:
    $$\sin A=\frac{a}{c}$$

    I den ligning skal du så isolere a, og sætte dine værdier ind for A og c. Ved du hvordan du gør det? Ellers så sig til. Ellers kan jeg også anbefale dig at se videoen her: https://matlet.dk/trigonometri-opgaver/. Den gennemgår, hvordan du gør.

    Håber det kan hjælpe dig 🙂

    Svar

Indsend en kommentar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.