Cosinusrelationerne

I visse tilfælde støder man ind på opgaver, hvor man ikke kan nøjes med at anvende sinusrelationerne til at beregne de ukendte vinkler og sider i en trekant. Her kan man ofte anvende cosinusrelationerne.

Styrken ved cosinusrelationerne er, at de gælder ikke kun i retvinklede trekanter, men i vilkårlige trekanter. Det vil sige at det er underordnet om trekanten er retvinklet eller stumpvinklet. Vi kan anvende cosinusrelationerne til alle trekanter.

Cosinusrelationerne

\(\cos{(A)}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\leftrightarrow a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos{(A)}\)

\(\cos{(B)}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\leftrightarrow b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos{(B)}\)

\(\cos{(C)}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\leftrightarrow c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos{(C)}\)

Vi kan altså anvende cosinusrelationerne til at beregne en side i en vilkårlig trekant, i tilfælde af at man kender 2 sider og netop den vinkel, der er imellem siderne.

Bevis – cosinusrelationerne

 

Eksempel

trekant - cosinus eksempel

Vi ser her en vilkårlig trekant \(ABC\), hvor \(a=6\), \(b=8\) og \(c=12\). Vi ønsker nu at beregne samtlige vinkler i trekanten ved hjælp af cosinusrelationerne. Vi begynder her, at beregne \(\cos{(A)}\):

\(\cos{(A)}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\rightarrow\cos{(A)}=\frac{8^2+12^2-6^2}{2\cdot8\cdot12}=0,896\)

cos(A)_vilkårlig

Vi har nu beregnet \(\cos{(A)}\) til 0,896. Vi beregner vinkel \(A\) ved at sige:

\(\cos^{-1}(0,896)=26,4°\)

Vi finder vinkel \(A\) til 26,4 grader. På samme vis kan vi nu beregne vinkel \(B\):

\(\cos{(B)}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\rightarrow\cos{(B)}=\frac{6^2+12^2-8^2}{2\cdot6\cdot12}=0,806\)

\(\angle B=\cos^{-1}{(0,806)}=36,4°\)

Vi kan nu nemt bestemme den sidste vinkel ved at fratrække vinkel \(B\) og \(A\) fra 180 grader:

\(\angle C=180°-36,4°-26,4°=117,2°\)

Opgaver                                                                                                                                            

Udregn samtlige vinkler og sider, når vi kender:

\(\angle B=85°,\quad a=5,\quad c=9\)

Se løsningen

 

Udregn samtlige vinkler og sider, når vi kender:

\(\angle B=50°,\quad a=16,\quad c=10\)

Se løsningen

 

Udregn samtlige vinkler og sider, når vi kender:

\(\angle A=65°,\quad \angle B=85°,\quad c=6\)

Se løsningen

0 kommentarer

Indsend en kommentar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *