I visse tilfælde støder man ind på opgaver, hvor man ikke kan nøjes med at anvende sinusrelationerne til at beregne de ukendte vinkler og sider i en trekant. Her kan man ofte anvende cosinusrelationerne.

Styrken ved cosinusrelationerne er, at de gælder ikke kun i retvinklede trekanter, men i vilkårlige trekanter. Det vil sige at det er underordnet om trekanten er retvinklet eller stumpvinklet. Vi kan anvende cosinusrelationerne til alle trekanter.

Cosinusrelationerne

$latex \cos{(A)}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\leftrightarrow a^2=b^2+c^2-2bc\cdot\cos{(A)}$

$latex \cos{(B)}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\leftrightarrow b^2=a^2+c^2-2ac\cdot\cos{(B)}$

$latex \cos{(C)}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\leftrightarrow c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos{(C)}$

Vi kan altså anvende cosinusrelationerne til at beregne en side i en vilkårlig trekant, i tilfælde af at man kender 2 sider og netop den vinkel, der er imellem siderne.

Bevis - cosinusrelationerne

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/10/bevis-cosinus.mp4"][/video]

Eksempel

Vi ser her en vilkårlig trekant $latex ABC$, hvor $latex a=6$, $latex b=8$ og $latex c=12$. Vi ønsker nu at beregne samtlige vinkler i trekanten ved hjælp af cosinusrelationerne. Vi begynder her, at beregne $latex \cos{(A)}$:

$latex \cos{(A)}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\rightarrow\cos{(A)}=\frac{8^2+12^2-6^2}{2\cdot8\cdot12}=0,896$

Vi har nu beregnet $latex \cos{(A)}$ til 0,896. Vi beregner vinkel $latex A$ ved at sige:

$latex \cos^{-1}(0,896)=26,4°$

Vi finder vinkel $latex A$ til 26,4 grader. På samme vis kan vi nu beregne vinkel $latex B$:

$latex \cos{(B)}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\rightarrow\cos{(B)}=\frac{6^2+12^2-8^2}{2\cdot6\cdot12}=0,806$

$latex \angle B=\cos^{-1}{(0,806)}=36,4°$

Vi kan nu nemt bestemme den sidste vinkel ved at fratrække vinkel $latex B$ og $latex A$ fra 180 grader:

$latex \angle C=180°-36,4°-26,4°=117,2°$

Opgaver                                                                                                                                            

Udregn samtlige vinkler og sider, når vi kender:

$latex \angle B=85°,\quad a=5,\quad c=9$

Se løsningen

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/10/cosenus-eksempel-2.mp4"][/video]

Udregn samtlige vinkler og sider, når vi kender:

$latex \angle B=50°,\quad a=16,\quad c=10$

Se løsningen

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/10/cosenus-eksempel-3.mp4"][/video]

Udregn samtlige vinkler og sider, når vi kender:

$latex \angle A=65°,\quad \angle B=85°,\quad c=6$

Se løsningen

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/10/cos+sin-eksempel.mp4"][/video]