Vi har introduceret differentialkvotienten, nu skal vi igang med at lære at beregne differentialkvotienten for en række differentiable funktioner ved hjælp af tretrinsreglen.

Tretrinsreglen

1. Vi skal først bestemme differenskvotienten for funktionen.

$latex a_s=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{(x_0+h)-x_0}$

2. Vi skal herefter reducere udtrykket.

3. Vi skal bestemme grænseværdien for

$latex h=\Delta x\rightarrow 0$

Lad os kigge på et eksempel på, hvorledes man anvender tretrinsreglen til at beregne differentialkvotienten af en specifik funktion, nemlig

$latex f(x)=x^2$

Tretrinsreglen giver:

$latex a_s=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}$
$latex =\frac{x^2+\Delta x^2+2x\Delta x-x^2}{\Delta x}=\Delta x+2x$

I grænsetilfældet giver tretrinsreglens 3. trin følgende

$latex a_s\rightarrow 2x\text{ for }\Delta x\rightarrow 2x$

Dette kan vi også skrive som

$latex f'(x)=2x$

Opgave                                                                                                                                                   

Udregn via tretrinsreglen differentialkvotienten for:

$latex f(x)=2x^2,\quad \text{for}\quad f(3), f(1)$

Se løsningen