Vi vil her tage udgangspunkt i vilkårlige trekanter. Det betyder ikke kun retvinklede trekanter, men også stumpvinklede trekanter og spidsvinklede trekanter. Vi starter her med at udlede sinusrelationerne.

Udledning af sinusrelationerne

Vi tager her udgangspunkt i en vilkårlig trekant, hvor højden falder indenfor som vi kan se. Vi går nu i gang med at udlede sinusrelationerne. Tager vi udgangspunkt i følgende vilkårlige trekant $latex ABC$, og tegner højden ned fra vinkel $latex C$ ned til grundlinjen så deler vi trekant $latex ABC$ i to retvinklede trekanter:

Om retvinklede trekanter gælder der

$latex \sin{(V)}=\frac{\text{modstående katete}}{\text{hypotenusen}}$

Tager vi nu udgangspunkt i en af de to små retvinklede trekanter, eksempelvis trekanten til venstre får vi nu:

$latex \sin{(B)}=\frac{hc}{a}\leftrightarrow\sin{B\cdot a}=hc$

Vi kan også beregne den højre retvinklede trekant:

$latex \sin{(A)}=\frac{hc}{b}\leftrightarrow \sin{A\cdot b}=hc$

Vi kan nu se, at højden åbenbart kan udtrykkes på 2 forskellige måder.

Sætter vi dem nu sammen, får vi

$latex \sin{A\cdot b}=\sin{B\cdot a}$

$latex \frac{\sin{A}}{a}=\frac{\sin{B}}{b}$

Vi har nu udledt vores første sinusrelation. Vi kunne dog også på tilsvarende vis have valgt at trække højden fra $latex A$ eller højden fra $latex C$, med samme resultat, blot med andre sider og vinkler. Der eksisterer derfor tre sinusrelationer i alt. Disse er givet her:

$latex \frac{\sin{A}}{a}=\frac{\sin{B}}{b}=\frac{\sin{C}}{c}$

Som nævnt falder højden i den "vilkårlige" trekant, inden for trekantens sider. Men med en mindre ændring er det naturligvis også muligt også at udlede sinusrelationen i det konkrete tilfælde, hvor højden falder udenfor.