Determinant

Vi skal her præsentere størrelsen, kaldet for determinanten og hvorledes vi udregner denne. Determinanten er en vigtig størrelse og bliver brugt i matematik på de forskellige videregående uddannelser i forbindelse med blandt andet løsningen af komplicerede ligningssystemer. Ligesom skalarproduktet er et hjælpemiddel for at beregne eksempelvis vinkler mellem 2 vektorer, er determinanten også et hjælpemiddel indenfor blandt andet vektorregning. Her anvendes determinanten til at bestemme om to vektorer er parallelle og til at bestemme arealet af både parallelogram samt trekanter.

Determinant

Man beregner determinanten af to vektorer, \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\), således:

\(\det{(\vec{a},\vec{b})}=\hat{a}\cdot\vec{b}\)

Vi beregner med andre ord determinanten af to vektorer ved gange (prikproduktet) med tværvektoren af den ene vektor med den anden vektor. Det vil med andre ord sige:

Har vi to vektorer, \(\vec{a}=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2  \end{matrix}\right)\) og \(\vec{b}=\left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2  \end{matrix}\right)\), kan vi beregne \(\det{(\vec{a},\vec{b})}\):

\(\det{(\vec{a},\vec{b})}=\hat{a}\cdot\vec{b}=\left(\begin{matrix} -a_2 \\ a_1  \end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2  \end{matrix}\right)=a_1b_2-a_2b_1\)

I matematik arbejder man med determinanter ved at anvende et særligt symbol, der har til formål at gøre det lettere at beregne dem. Man kan beregne determinanten af to vektorer, \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\), ved at:

\(\det{(\vec{a},\vec{b})}=\det{\left((\vec{a}),(\vec{b})\right)}=\begin{vmatrix} a_1\quad b_1 \\ a_2\quad b_2  \end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1\)

Dette er altså en anden metode for at udregne determinanten for to vektorer på. Læg mærke til at ved udregningen af determinanten, ganger vi blot her over kors og trækker fra. Læg yderligere mærke til at determinanten er et tal og ikke en vektor. Vi kan ved hjælp af derterminanten afgøre om to vektorer er parallelle.

Parallelle vektorer

Der gælder at to vektorer er parallelle, hvis

\(\det{(\vec{a},\vec{b})}=\det{\left((\vec{a}),(\vec{b})\right)}=\begin{vmatrix} a_1\quad b_1 \\ a_2\quad b_2  \end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1=0\)

Det vil sige at, hvis determinanten af to vektorer giver 0, da er de parallelle. Dette er en vigtig regel indenfor vektorregning.

6 Kommentarer

  1. Sille

    hej
    Hvad fortæller determinanten om vinklen v mellem to vektorer?

    Svar
  2. Jonathan Lindahl

    Hej Sille

    Tak for dit spørgsmål.

    Determinanten kan fortælle, om to vektorer er parallelle. Er determinanten 0 for to vektorer (jf. teksten ovenover for, hvordan du beregner determinanten), er de to vektorer parallelle. Her kan de to vektorer så enten være ensrettede eller modsatrettede.

    Hvis determinanten til gengæld ikke er 0, er de to vektorer ikke parallelle.

    Jeg håber det besvarer dit spørgsmål. 🙂

    Svar
    • William

      Hejsa.
      Jeg har forsøgt at lave en beregning baseret på Jonathans svar til Sille og jeg håber i kan hjælpe mig med at forstå det han har beskrevet omkring brugen af determinanten til at vurdere vinklen mellem to vektorer.

      I ovenstående svar til Sille har Jonathan skrevet at to vektorer der er parallelle har en vinkel på 90 grader og har en determinant der er nul. Det kan jeg ikke helt få til at stemme når jeg prøver med disse 2 simple vektorer som er vinkelrette på hinanden: a= (a1,a2) = (1,0) og b=(b1,b2)=(0,3). Udregner man determinanten for disse 2 vektorer får man:
      Det(a,b) =1*3-0*0 = 3.

      Kunne det ikke tænkes at hvis determinanten er = 0, så er vinklen mellem vektorerne enten 0 eller 180 grader da de derved ikke udspænder et areal, men “kun” en linje? Og at den vinkelrette situation som Jonathan nævner omhandler â vektoren på b vektoren i stedet? Mig bekendt er to vektorer som har en vinkel på 90 grader ikke parallelle, men derimod ortogonale.

      Håber i kan hjælpe mig med at finde hoved og hale i det.

      Svar
      • Jonathan Lindahl

        Hej William

        Tak for dit spørgsmål.

        Du har helt ret – mit svar til Sille gik lidt stærkt.
        Hvis determinanten mellem to vektorer er 0, så er de parallelle (enten ensrettede eller modsatrettede). De er ikke vinkelrette, som der ved en fejl blev nævnt i ovenstående svar. Vinklen er som du nævner enten 0 (ensrettede) eller 180 (modsatrettede) grader.

        Og du har helt ret i, at det i stedet er vektor â og b, som er vinkelrette.

        Jeg håber det besvarer dit spørgsmål. 🙂

        Svar
  3. Lærke

    I det ovenstående står der følgende:
    Man beregner determinanten af to vektorer, 𝑎⃗ og 𝑏⃗ , således:

    det(𝑎⃗ ,𝑏⃗ )=𝑎̂ ⋅𝑏⃗

    Er det skalaproduktet man skal tage der?

    Svar
  4. Jonathan Lindahl

    Hej Lærke

    Tak for dit spørgsmål.

    Nej, at tage skalarproduktet af to vektorer er ikke det samme som at finde de to vektorers determinant.
    Determinanten beregnes således:

    $$\det{(\vec{a},\vec{b})}=\hat{a}\cdot\vec{b}=\left(\begin{matrix} -a_2 \\ a_1  \end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2  \end{matrix}\right)=a_1b_2-a_2b_1$$

    Mens skalarproduktet findes således (jf. https://matlet.dk/skalarprodukt/):

    $$\vec{a}\cdot\vec{b}=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2  \end{matrix}\right) \cdot\left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \end{matrix}\right)=a_1b_1+a_2b_2$$

    Forskellen er således, at du ved skalarproduktet “prikker de to vektorer med hinanden”. Mens du ved determinanten tager “først tager hatten til den første vektor og derefter prikker den med den anden vektor”.

    Giver det mening? 🙂

    Svar

Indsend en kommentar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.