Determinant

Vi skal her præsentere størrelsen, kaldet for determinanten og hvorledes vi udregner denne. Determinanten er en vigtig størrelse og bliver brugt i matematik på de forskellige videregående uddannelser i forbindelse med blandt andet løsningen af komplicerede ligningssystemer. Ligesom skalarproduktet er et hjælpemiddel for at beregne eksempelvis vinkler mellem 2 vektorer, er determinanten også et hjælpemiddel indenfor blandt andet vektorregning. Her anvendes determinanten til at bestemme om to vektorer er parallelle og til at bestemme arealet af både parallelogram samt trekanter.

Determinant

Man beregner determinanten af to vektorer, \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\), således:

\(\det{(\vec{a},\vec{b})}=\hat{a}\cdot\vec{b}\)

Vi beregner med andre ord determinanten af to vektorer ved gange (prikproduktet) med tværvektoren af den ene vektor med den anden vektor. Det vil med andre ord sige:

Har vi to vektorer, \(\vec{a}=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2  \end{matrix}\right)\) og \(\vec{b}=\left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2  \end{matrix}\right)\), kan vi beregne \(\det{(\vec{a},\vec{b})}\):

\(\det{(\vec{a},\vec{b})}=\hat{a}\cdot\vec{b}=\left(\begin{matrix} -a_2 \\ a_1  \end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2  \end{matrix}\right)=a_1b_2-a_2b_1\)

I matematik arbejder man med determinanter ved at anvende et særligt symbol, der har til formål at gøre det lettere at beregne dem. Man kan beregne determinanten af to vektorer, \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\), ved at:

\(\det{(\vec{a},\vec{b})}=\det{\left((\vec{a}),(\vec{b})\right)}=\begin{vmatrix} a_1\quad b_1 \\ a_2\quad b_2  \end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1\)

Dette er altså en anden metode for at udregne determinanten for to vektorer på. Læg mærke til at ved udregningen af determinanten, ganger vi blot her over kors og trækker fra. Læg yderligere mærke til at determinanten er et tal og ikke en vektor. Vi kan ved hjælp af derterminanten afgøre om to vektorer er parallelle.

Parallelle vektorer

Der gælder at to vektorer er parallelle, hvis

\(\det{(\vec{a},\vec{b})}=\det{\left((\vec{a}),(\vec{b})\right)}=\begin{vmatrix} a_1\quad b_1 \\ a_2\quad b_2  \end{vmatrix}=a_1b_2-a_2b_1=0\)

Det vil sige at, hvis determinanten af to vektorer giver 0, da er de parallelle. Dette er en vigtig regel indenfor vektorregning.

0 kommentarer

Indsend en kommentar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *