Vi skal her se nærmere på, første ordens lineære differensligninger med konstante koefficienter. Disse typer differensligninger er forholdsvis anvendte på videregående økonomistudier, derfor er det vigtigt at kende til grundbegreber samt løsningsformerne. Disse differensligninger kan være udfordrende at bestemme løsningen til, vi vil i denne sektion derfor kun kigge på forholdsvis simple første ordens lineære differensfunktioner. I næste kapitel kigger vi på, anden ordens lineære differensligninger med konstante koefficienter. Formålet her er, at præsentere disse ligninger således at de ikke virker ubekendt, når du går videre i dit uddannelsesforløb. Vi vil her starte med at kigge på en inhomogen differensligning.

$latex x_{t+1}=ax_t+b \quad\quad t=0,1,2,\ldots$

Vi har altså en lineære inhomogen differensligning med konstante koefficienter. Ligningen her kaldes for inhomogen, da vi her har konstanten $latex b$. I forrige kapital havde vi altså en $latex b=0$ og man siger at ligningen er homogen. Starter vi her med en kendt $latex x(0)$, kan vi også her beregne de efterfølgende $latex x(1),x(2),x(3)\ldots x(t)$.

$latex x_1=ax_0+b$ $latex x_2=ax_1+b=a(ax_0+b)+b=a^2x_0+(a+1)b$ $latex x_3=ax_2+b=a(a^2x_0+(a+1)b)+b=a^3x_0+(a^2+a+1)b$ $latex \vdots$

Således kan vi blive ved indtil $latex x(t)$. Ligesom i den tidligere lektion, er denne fremgangsmåde ikke helt hensigtsmæssigt, hvis vi eksempelvis skal regne $latex x(125)$. Dette kommer til at tage lang tid og vi kan risikere at lave skrivefejl undervejs, som vil resultere i et forkert svar. Læg dog mærke til på højresiderne af ovenstående, der ser ud til at fremkomme et mønster, som vi kan fremhæve herunder.

$latex x_t=a^tx_0+(a^{t-1}+a^{t-2}+a^{t-3}+\ldots+a+1)b$

Der gælder yderligere

$latex \frac{(1-a^t)}{(1-a)}=a^t+\cdots+a^3+a^2+a+1, \quad (a\neq 1)$

Vi kan nu omskrive den ovenstående lineære differensligning til

$latex x_{t+1}=ax_t+b \leftrightarrow x_t=a^t\left(x_0-\frac{b}{1-a}\right) +\frac{b}{1-a}, \quad (a\neq 1)$

Bevis [video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/11/bevis-differensligning.mp4"][/video]  

Eksempel

Vi ønsker at løse følgende differensligning:

$latex x_{t+1}=5x_t+2$

Vi anvender formlen foroven

$latex x_t=5^t \left(x_0-\frac{2}{1-5}\right)+\frac{2}{1-5}=5^t\left(x_0+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}$

Opgaver

Løs følgende 2 differensligninger a) $latex x_{t+1}=2x_t+3, \quad\quad\,\, x_0=1$ b) $latex x_{t+1}-2x_t+3=0, \quad x_0=4$ Løsninger [video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/11/Eksempel-differens-1.-orden.mp4"][/video]   Løs følgende 2 differensligninger a) $latex x_{t+1}=\frac{1}{2}x_t+3, \quad\quad x_0=1$ b) $latex x_{t+1}=-3x_t+4, \quad\,\,\, x_0=4$ Løsninger [video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/11/differens-eksempel.mp4"][/video]