Vi kan anvende sinusrelationerne til at bestemme arealet for en trekant. Sinusrelationerne er nemlig beslægtede med formlen for en trekants areal.

$latex T=\frac{1}{2}\cdot\text{højde}\cdot\text{grundlinje}$

Hvis vi nu husker tilbage på sinusrelationen: I en retvinklet trekant $latex ABC$ gælder:

$latex \sin{A}=\frac{a}{c}=\frac{\text{modstående katete}}{\text{hypotenusen}}$

Dette svarer i vores tilfælde til:

$latex h=c\cdot\sin{(A)}$

Udnytter vi dette udtryk og indsætter det på højdens plads i formlen for arealet af trekantsarealet, får vi:

$latex T=\frac{1}{2}\cdot\text{højde}\cdot\text{grundlinje}=\frac{1}{2}\cdot h\cdot b=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\sin{(A)}\cdot b$

Vi har altså hermed udregnet arealet for trekanten ud fra siderne $latex b$ og $latex c$ samt vinkel $latex A$. På tilsvarende vis med udgangspunkt i de 2 andre vinkler kan vi også beregne arealet for trekant $latex ABC$.

Vi kan altså konkludere at arealet $latex T$ af en trekant $latex ABC$ kan beregnes ved hjælp af følgende formler:

$latex T=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin{(C)},\quad T=\frac{1}{2}\cdot a\cdot c\cdot\sin{(B)},\quad T=\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot\sin{(A)}$

Vi vil nu udføre en række udledninger for ovenstående resultat, med udgangspunkt i 2 forskellige vinkler i stumpvinklede trekanter samt en spidsvinklet trekant. Vi starter med bevise de ovenstående resultater, når højden $latex h$ falder udenfor trekanten og til sidst når den falder i selve trekanten.

Bevis, 1 - Stumpvinklet

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/10/vilkrlig.mp4"][/video]

Bevis, 2 - Stumpvinklet

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/10/vilkrlig1.mp4"][/video]

Vi skal herunder bevise ovenstående resultat, når højden $latex h$ kan måles indefra selve den vilkårlige trekant.

Bevis, 3 - Spidsvinklet

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/10/vilkrlig2.mp4"][/video]

Opgaver                                                                                                                                            

Udregn arealet for en trekant $latex ABC$, når:

1. $latex \quad\angle A=50°,\quad b=9,\quad c=10$
2. $latex \quad\angle C=55°,\quad a=14,\quad b=7$

Se løsningerne

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/10/areal-trekant.mp4"][/video]