Punkter og vektorer

Vi skal her forbinde punkter i et koordinatsystem med vektorer.

Skærmbillede 2013-11-23 kl. 7.45.59 PM

Figuren her viser altså en vektor, der er fastlagt ved de 2 punkter \(A\) og \(B\).

\(\vec{AB}=\begin{pmatrix} b_1-a_1 \\ b_2-a_2 \end{pmatrix}\)

Vektorens koordinater bestemmes ved at trække \(A\)’s koordinater fra \(B\)’s. Vi kan også bestemme afstanden mellem de 2 punkter \(A\) og \(B\)Afstanden 2 punkter er nemlig lig med længden af vektoren, der forbinder punkterne. Dvs.

\(|AB|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}\)

Afstandsformlen

Afstanden mellem 2 punkter \(A(a_1,a_2)\) og \(B(b_1,b_2)\) findes ved:

\(|AB|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}\)

Ved hjælp af formlen kan vi altså beregne afstanden mellem 2 punkter i et koordinatsystem eller længden af en vektor. Lad os tage et eksempel.

Vi ønsker at bestemme afstanden mellem \(A(2,5)\) og \(B(6,9)\) findes ved:

\(|AB|=\sqrt{(6-2)^2+(9-5)^2}\)

\(=\sqrt{16+16}\)

\(=\sqrt{32}\)

Lad os som det næste indtegne en trekant \(ABC\) ind i et koordinatsystem.

Skærmbillede 2013-11-23 kl. 9.25.36 PM

Ud fra vinkelspidsernes koordinater kan vi beregne koordinaterne til de 3 vektorer

\(|AB|=\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}\)

\(|BC|=\begin{pmatrix} 8 \\ 12 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\)

\(|AC|=\begin{pmatrix} 8 \\ 12 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 7 \end{pmatrix}\)

Læg nu mærke til, at

\(|AB|+|BC|=|AC|\)

Det ses altså her, at der er præcis sammenhæng mellem geometrien samt beregningerne. Ovennævnte eksempel illustrerer faktisk en vigtig regel indenfor vektorregning kaldet for indskudsreglen.

Indskudsreglen

Der antages her 3 punkter \(A(a_1, a_2)\), \(B(b_1,b_2)\) og \(C(c_1, c_2)\). Der gælder nu:

\(\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}\)

Bevis:

\(\begin{pmatrix} b_1-a_1 \\ b_2-a_2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} c_1-b_1 \\ c_2-b_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c_1-a_1 \\ c_2-a_2 \end{pmatrix}\)

Stedvektor

Ved vektorregning støder man til tider på stedvektorer. En stedvektor har samme koordinater som spidsen på pilen. Lad os kigge på et konkret geometrisk illustration.

Skærmbillede 2013-11-23 kl. 10.45.54 PM

Det ses altså her at stedvektoren har samme koordinat som punktet B.

Opgaver

Beregn vektor a), b) og c)

\(\begin{pmatrix} b_1-a_1 \\ b_2-a_2 \end{pmatrix}\)

a) \(\quad BA\)

b) \(\quad CA\)

c) \(\quad CB\)

Hvor \(A(10,8)\), \(B(3, -4)\) og \(C(-10,9)\).

Løsning

Opgaver                                                                                                                                            

Udregn følgende vektorer:

\(AC=AB+BC\)

\(A(5,3)\)
\(B(7,17)\)
\(C(21,16)\)

Løsning

6 Kommentarer

  1. Mirza

    Beregn koordinater til punkter. Kender længde af vektor og retningsvinkel.

    Svar
  2. Jonathan Lindahl

    Kære Mirza

    Tak for din besked.

    Har du mulighed for at skrive hele spørgsmålet – så kan jeg lige nemmere hjælpe. 🙂

    Svar
  3. Alberte

    Hej hvordan finder jeg vinklen mellem to vektorer jeg har 3 punkter

    Svar
  4. Jonathan Lindahl

    Hej Alberte

    Tak for dit spørgsmål.

    Det første du skal gøre er at finde de to vektorer, som du ønsker ud fra de 3 punker. Det gør du ved at bruge den øverste formel på denne side (se evt. også den første video her på siden for at se eksempler).

    Herefter kan du her se, hvordan du beregner vinklen mellem dem: https://matlet.dk/skalarprodukt/ (se under overskriften “Vinkel mellem vektorer”).

    Jeg håber det giver mening. Du må endelig sige til, hvis der er noget af det du ikke forstår. 🙂

    Svar
  5. elma

    Hvordan ser beviset for, hvordan koordinaterne for en vektor mellem to punkter i et koordinatsystem er givet, ud?

    Svar
  6. Jonathan Lindahl

    Hej Elma

    Tak for dit spørgsmål.

    Vi har ikke beviset her på siden, men du kan se beviset i denne Youtube video: https://www.youtube.com/watch?v=QzH7ig1PPVk

    Håber det kan hjælpe dig. 🙂

    Svar

Indsend en kommentar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.