Punkter og vektorer

Vi skal her forbinde punkter i et koordinatsystem med vektorer.

Skærmbillede 2013-11-23 kl. 7.45.59 PM

Figuren her viser altså en vektor, der er fastlagt ved de 2 punkter \(A\) og \(B\).

\(\vec{AB}=\begin{pmatrix} b_1-a_1 \\ b_2-a_2 \end{pmatrix}\)

Vektorens koordinater bestemmes ved at trække \(A\)’s koordinater fra \(B\)’s. Vi kan også bestemme afstanden mellem de 2 punkter \(A\) og \(B\)Afstanden 2 punkter er nemlig lig med længden af vektoren, der forbinder punkterne. Dvs.

\(|AB|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}\)

Afstandsformlen

Afstanden mellem 2 punkter \(A(a_1,a_2)\) og \(B(b_1,b_2)\) findes ved:

\(|AB|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2}\)

Ved hjælp af formlen kan vi altså beregne afstanden mellem 2 punkter i et koordinatsystem eller længden af en vektor. Lad os tage et eksempel.

Vi ønsker at bestemme afstanden mellem \(A(2,5)\) og \(B(6,9)\) findes ved:

\(|AB|=\sqrt{(6-2)^2+(9-5)^2}\)

\(=\sqrt{16+16}\)

\(=\sqrt{32}\)

Lad os som det næste indtegne en trekant \(ABC\) ind i et koordinatsystem.

Skærmbillede 2013-11-23 kl. 9.25.36 PM

Ud fra vinkelspidsernes koordinater kan vi beregne koordinaterne til de 3 vektorer

\(|AB|=\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}\)

\(|AB|=\begin{pmatrix} 8 \\ 12 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\)

\(|AB|=\begin{pmatrix} 8 \\ 12 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 7 \end{pmatrix}\)

Læg nu mærke til, at

\(|AB|+|BC|=|AC|\)

Det ses altså her, at der er præcis sammenhæng mellem geometrien samt beregningerne. Ovennævnte eksempel illustrerer faktisk en vigtig regel indenfor vektorregning kaldet for indskudsreglen.

Indskudsreglen

Der antages her 3 punkter \(A(a_1, a_2)\), \(B(b_1,b_2)\) og \(C(c_1, c_2)\). Der gælder nu:

\(\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}\)

Bevis:

\(\begin{pmatrix} b_1-a_1 \\ b_2-a_2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} c_1-b_1 \\ c_2-b_2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c_1-a_1 \\ c_2-a_2 \end{pmatrix}\)

Stedvektor

Ved vektorregning støder man til tider på stedvektorer. En stedvektor har samme koordinater som spidsen på pilen. Lad os kigge på et konkret geometrisk illustration.

Skærmbillede 2013-11-23 kl. 10.45.54 PM

Det ses altså her at stedvektoren har samme koordinat som punktet B.

Opgaver

Beregn vektor a), b) og c)

\(\begin{pmatrix} b_1-a_1 \\ b_2-a_2 \end{pmatrix}\)

a) \(\quad BA\)

b) \(\quad CA\)

c) \(\quad CB\)

Hvor \(A(10,8)\), \(B(3, -4)\) og \(C(-10,9)\).

Løsning

Opgaver                                                                                                                                            

Udregn følgende vektorer:

\(AC=AB+BC\)

\(A(5,3)\)
\(B(7,17)\)
\(C(21,16)\)

Løsning

0 kommentarer

Indsend en kommentar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *