Eksponentielle funktioner

Der findes mange forskellige sammenhænge i natur- og samfundsvidenskab, der kan beskrives godt af lineære funktioner, men også en række vigtige sammenhænge, der ikke er lineære.

Ved lineær vækst har man en konstant \(y\)-tilvækst. Det betyder at hver gang man går én enhed ud ad \(x\)-aksen, vokser \(y\)værdien med samme tal \(a\). Det så vi under lineære funktioner. Sætter du derimod dine sparepenge i banken, vil dine penge ikke vokse lineært, men derimod eksponentielt, fordi \(y\)-tilvæksten bliver større og større på grund af renternes rente. Denne effekt vil eksponentielle funktioner “tage højde” for.

Forskriften 

Renteformlen eller kapitalfremskrivningsformlen som vi altså så tidligere, er ikke andet end en eksponentialfunktion.

\(K_n=K_0\cdot(1+r)^n\rightarrow f(x)=b\cdot a^x\)

Her angiver \(b\) skæringspunktet med \(y\)-aksen og \(a\) bliver kaldt for grundtallet eller også roden nogle gange.

I forhold til kapitalfremskrivningsformlen angiver grundtallet i den eksponentielle funktion, altså \(1+r\), hvor \(r\) angiver rentesatsen. Eksponenten \(x\) svarer til \(n\) og endelig er \(K_0\) ensbetydende med begyndelsesværdien \(b\).

\(K_n=f(x),\quad K_0=b,\quad (1+r)=a,\quad n=x\)

Vi ser her graferne for 2 eksponentielle funktioner. Vi har en blå graf, der er aftagende i \(x\), herudover ser vi ligeledes en grøn graf, den er derimod voksende i \(x\).

graf_ekspo

Vi ser fra figuren, at i tilfælde, hvor \(a>1\), da vil funktionen være voksende. I tilfælde af, at \(0<a<1\), da vil funktionen være aftagende. I begge scenarier ser vi dog, at funktionsværdierne ikke bliver negative.

Dvs. eksponentielle funktionsværdier bliver ikke negative.

 

Kender man 2 punkter i et koordinatsystem,

\(A(x_1, y_1)\quad\quad B(x_2, y_2)\)

kan vi med udgangspunkt i disse 2 punkter beregne både \(b\) og \(a\) i eksponentialfunktionen ved hjælp af følgende formel.

\(y=b\cdot a^x\)

Hvor

\(a=\sqrt[x_2-x_1]{\frac{y_2}{y_1}}\)
\(b=\frac{y_1}{a^{x_1}}\)

I kassen foroven ses formlerne til at bestemme \(a\) og \(b\) i en eksponentialfunktion. Vi kan dog også ret let bestemme \(x\) ved blot at anvende følgende formel.

\(x=\frac{\log{(y)}-\log{(b)}}{\log{(a)}}\)

Vær opmærksom på at man i matematik ofte veksler mellem \(f(x)\) samt \(y\). De aflæses begge på den lodrette akse i et koordinatsystem.

\(f(x)=y\)

0 kommentarer

Indsend en kommentar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *