Sammensatte funktioner

I denne sektion vil vi præsentere sammensatte funktioner og give en række taleksempler. Vi vil se, hvorledes vi kan identificere sammensatte funktioner.

Ofte der har man har to (eller flere) funktioner, man sætter sammen. At sætte funktioner sammen vil sige, at man definerer den variable (\(x\)-værdien) som en funktion af en anden variabel. Det vil sige at man først kommer sin \(x\)-værdi ind i den ene funktion (indre funktion), resultatet man så får kommer man så ind i den anden funktion (ydre funktion). Den funktion, man først bruger, kalder man altså for den indre funktion, mens nummer to (den man regner efterfølgende) kaldes den ydre funktion.

lad os betragte følgende funktion

\(f(x)=2+x\)

Indsætter vi 1 ind på \(x\)s plads i \(f(x)\), fås \(f(1)=2+1=3\)Indsættes 2 ind på \(x\)s plads fås \(f(2)=2+2=4\)

Lad os nu betragte følgende funktion

\(g(x)=3x\)

Indsætter vi værdierne 1 og 2 ind på \(x\)’s plads \(g(x)\), fås

\(g(1)=3\cdot1=3\)
\(g(2)=3\cdot2=6\)

I dette tilfælde er funktionerne \(f(x)\) og \(g(x)\) begge afhængige af \(x\). Lad os nu prøve at lave en sammensat funktion med \(f(x)\) og \(g(x)\)I dette tilfælde vil vi lade \(f(x)\) være den indre funktion og \(g(x)\) vil være den ydre funktion. Det vil sige:

\(g(f(x))=3\cdot(2+x)\)

Vi har altså sat \(f(x)=2+x\) ind på \(x\)’s plads i \(g(x)\). Vi har hermed konstrueret en sammensat funktion, hvor \(f(x)\) er den indre funktion og \(g(x)\) er den ydre funktion. Indsætter vi nu 1 og 2 ind på \(x\)’s plads får vi:

\(g(f(1))=3\cdot(2+1)=3\cdot3=9\)
\(g(f(2))=3\cdot(2+2)=3\cdot4=12\)

Det er ikke ligegyldigt, hvilken en der er den indre og hvilken der er den ydre funktion. Derfor skal man omhyggeligt starte med at aflæse, hvilken funktion er den ydre og hvilken er den indre. Vender vi om på funktioner, ser vi at vi ikke får samme resultat.

\(f(g(x))=2+3\cdot x\)

\(f(g(1))=2+3\cdot1=2+3=5\)
\(f(g(2))=2+3\cdot2=2+6=8\)

I matematik gør man opmærksom på at man har med en sammensat funktion at gøre ved at anvende bolle-notationen. Således viser man, at \(g(x)\) er en funktion af \(f(x)\):

\(f(g(x))=(f\circ g)(x)\)

Man kan her sige at “\(f\) bolle \(g\) af \(x\)”. Vi kan her vise flere eksempler på sammensatte funktioner:

\(f(x)=\sqrt{x},\; g(x)=2x\)

\(f(g(x))=(f\circ g)(x)=\sqrt{2x}\)
\(g(f(x))=(g\circ f)(x)=2\sqrt{x}\)

Endnu et eksempel kan være

\(f(x)=x^2,\; g(x)=2x+3\)

\(f(g(x))=(f\circ g)(x)=(2x+3)^2\)
\(g(f(x))=(g\circ f)(x)=2x^2+3\)

0 kommentarer

Indsend en kommentar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *