Sammensatte funktioner

I denne sektion vil vi præsentere sammensatte funktioner og give en række taleksempler. Vi vil se, hvorledes vi kan identificere sammensatte funktioner.

Ofte der har man har to (eller flere) funktioner, man sætter sammen. At sætte funktioner sammen vil sige, at man definerer den variable (\(x\)-værdien) som en funktion af en anden variabel. Det vil sige at man først kommer sin \(x\)-værdi ind i den ene funktion (indre funktion), resultatet man så får kommer man så ind i den anden funktion (ydre funktion). Den funktion, man først bruger, kalder man altså for den indre funktion, mens nummer to (den man regner efterfølgende) kaldes den ydre funktion.

lad os betragte følgende funktion

\(f(x)=2+x\)

Indsætter vi 1 ind på \(x\)s plads i \(f(x)\), fås \(f(1)=2+1=3\)Indsættes 2 ind på \(x\)s plads fås \(f(2)=2+2=4\)

Lad os nu betragte følgende funktion

\(g(x)=3x\)

Indsætter vi værdierne 1 og 2 ind på \(x\)’s plads \(g(x)\), fås

\(g(1)=3\cdot1=3\)
\(g(2)=3\cdot2=6\)

I dette tilfælde er funktionerne \(f(x)\) og \(g(x)\) begge afhængige af \(x\). Lad os nu prøve at lave en sammensat funktion med \(f(x)\) og \(g(x)\)I dette tilfælde vil vi lade \(f(x)\) være den indre funktion og \(g(x)\) vil være den ydre funktion. Det vil sige:

\(g(f(x))=3\cdot(2+x)\)

Vi har altså sat \(f(x)=2+x\) ind på \(x\)’s plads i \(g(x)\). Vi har hermed konstrueret en sammensat funktion, hvor \(f(x)\) er den indre funktion og \(g(x)\) er den ydre funktion. Indsætter vi nu 1 og 2 ind på \(x\)’s plads får vi:

\(g(f(1))=3\cdot(2+1)=3\cdot3=9\)
\(g(f(2))=3\cdot(2+2)=3\cdot4=12\)

Det er ikke ligegyldigt, hvilken en der er den indre og hvilken der er den ydre funktion. Derfor skal man omhyggeligt starte med at aflæse, hvilken funktion er den ydre og hvilken er den indre. Vender vi om på funktioner, ser vi at vi ikke får samme resultat.

\(f(g(x))=2+3\cdot x\)

\(f(g(1))=2+3\cdot1=2+3=5\)
\(f(g(2))=2+3\cdot2=2+6=8\)

I matematik gør man opmærksom på at man har med en sammensat funktion at gøre ved at anvende bolle-notationen. Således viser man, at \(g(x)\) er en funktion af \(f(x)\):

\(f(g(x))=(f\circ g)(x)\)

Man kan her sige at “\(f\) bolle \(g\) af \(x\)”. Vi kan her vise flere eksempler på sammensatte funktioner:

\(f(x)=\sqrt{x},\; g(x)=2x\)

\(f(g(x))=(f\circ g)(x)=\sqrt{2x}\)
\(g(f(x))=(g\circ f)(x)=2\sqrt{x}\)

Endnu et eksempel kan være

\(f(x)=x^2,\; g(x)=2x+3\)

\(f(g(x))=(f\circ g)(x)=(2x+3)^2\)
\(g(f(x))=(g\circ f)(x)=2x^2+3\)

6 Kommentarer

  1. Amalie Jensen

    • Produktionen koster JYSK 120.000 kr. i faste omkostninger.
    • De variable enhedsomkostninger VE er 250 kr. pr. stk. for de første 800 stk. og 450 kr. pr. stk. for resten.
    • x er antal producerede stk. pr. år.
    1. Bestem forskriften (modellen) for de samlede omkostninger.

    Svar
  2. Jonathan Lindahl

    Hej Amalie

    Tak for dit spørgsmål.
    Det du skal have fat i er en såkaldt gaffelfunktion.

    Betragt følgende gaffelfunktion:

    $$ f(x) = \left\{
    \begin{array}{ll}
    ax + c & \text{for }x \leq 800 \\
    bx + c & \text{for }x>800 \\
    \end{array}
    \right. $$

    Prøv at se om du ud fra opgaven kan finde ud af, hvad hhv. a, b og c skal være i ovenstående ligning.

    Hvis du har problemer med det, så sig endelig til 🙂

    Svar
  3. Izabella

    f(x) = 2x – 3

    g(x) = x2 + 1

    Hvordan regner jeg det her ud

    Svar
  4. Jonathan Lindahl

    Hej Izabella

    Først skal du finde ud af, hvilken en som er din indre og hvilken en som er din ydre funktion.
    Lad os f.eks. antage, at f(x) er den ydre funktion og g(x) er den indre funktion. Da skal du erstatte x i f(x) med g(x). Dvs.

    $$ f(g(x)) = 2(x^2+1)-3 = 2x^2+2-3 = 2x^2-1 $$

    Hvis du f.eks. skal løse grafen for f(g(0)), så får du:

    $$ f(g(0)) = 2\cdot0^2-1 = -1$$

    Hvis det i stedet er g(x) som er den ydre funktion, og f(x) som er den indre, så du skal erstatte x i g(x) med f(x).

    Prøv at se, om du kan det. Ellers må du endelig lige skrive. 🙂

    Svar
  5. Ida

    Hvordan regner jeg denne her ud?

    En sammensat funktion h(x)0 f(g(x)) er givet ved
    h(x)=ln⁡(2x+4), x>-2

    a) Bestem forskriften for hver af de to funktioner f og g, så h(x)=f(g(x))

    Svar
  6. Jonathan Lindahl

    Hej Ida

    Hvis:

    \begin{align}
    f(x) &= \ln(x) \\
    g(x) &= 2x+4
    \end{align}

    Så vil du have, at h(x) = f(g(x)).

    Svar

Indsend en kommentar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.