Vi har tidligere studeret linjer, cirkler og trekanter i den todimensionale verden. Det vil sige i et "almindeligt" koordinatsystem. Vi skal her beskæftige os med den tredimensionale geometri. Vi starter derfor med at præsentere koordinatsystemet i den tredimensionale verden.

Koordinatsystemet ovenfor er standard i den tredimensionale verden. Et punkt $latex P$ i et koordinatsystem har, som vi ser her 3 koordianter $latex (x,y,z)$. Som det altså ses nedenfor har vi indtegnet en stedvektor.

Som det ses her, har vektorer også koordinaterne $latex (x,y,z)$ i et tredimensional verden.

Vektorer i rummet

Vektorregning i den tredimensionale verden ligner meget dem fra den todimensionale verden. Lad os antage vi har fået givet 2 vektorer.

$latex \vec{a}=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3  \end{matrix}\right),\vec{b}=\left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3  \end{matrix}\right)$

Sum af to vektorer udregnes præcis som i den todimensionale verden. Det samme gøre sig naturligvis også gældende ved differens af to vektorer.

$latex \vec{a}\pm\vec{b}=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3  \end{matrix}\right)\pm\left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3  \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} a_1 \pm b_1 \\ a_2 \pm b_2 \\ a_3 \pm b_3  \end{matrix}\right)$

Man kan også skalér en vektor ved at gange et tal $latex k$, med en vektor som i den todimensionale verden.

$latex k\vec{a}=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3  \end{matrix}\right)=k\cdot \left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3  \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} ka_1 \\ ka_2 \\ ka_3  \end{matrix}\right)$

Længde- og afstandsformlen

Længde- og afstandsformlen er næsten den samme som i det todimensionale tilfælde, forskellen her er blot, at der er kommet et ekstra led på.

Afstanden mellem disse to punkter $latex A$ og $latex B$

$latex A(a_1, a_2, a_3), B(b_1, b_2, b_3)$

bliver

$latex |\vec{AB}|=\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+(a_3-b_3)^2}$

Afstanden mellem de to punkter $latex A$ og $latex B$ er længden af ovenstående vektor.

Udledning af længde- og afstandsformlen

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/12/lngde-og-afstandsformlen.mp4"][/video]

Lad os kigge på et konkret eksempel med udgangspunkt i to punkter A og B.

$latex A(2,2,2), B(0,4,5)$

$latex |\vec{AB}|=\sqrt{(2-0)^2+(2-4)^2+(2-5)^2}=\sqrt{(2)^2+(-2)^2+(-3)^2}$
$latex =\sqrt{4+4+9}=\sqrt{17}$

Skalarprodukt

Regnereglerne for prikproduktet også kaldt for skalarproduktet af to vektorer er identisk med regnereglerne for skalarproduktet af vektorer i den todimensionale verden.

$latex \vec{a}=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3  \end{matrix}\right),\vec{b}=\left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3  \end{matrix}\right)$

$latex \vec{a}\cdot\vec{b}=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3  \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3  \end{matrix}\right)=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

Vinklen mellem to vektorer

Regnereglerne for vinklen mellem to vektorer er stadigvæk præcis den samme som for vektorer i den todimensionale verden

$latex \cos{v}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}$

Projektion af en vektor på en vektor

Den samme formel for projektion af en vektor på en vektor i den tredimensionale verden er identisk med formlen i den todimensionale verden.

$latex \vec{a}_b=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\cdot\vec{b}$

Vektorprodukt

Det er vigtigt at man ikke forveksler vektorproduktet med prikproduktet også kaldt for vektorproduktet. Vektorproduktet bliver også kaldt krydsproduktet.

Tager vi udgangspunkt i disse to vektorer

$latex \vec{a}=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3  \end{matrix}\right),\vec{b}=\left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3  \end{matrix}\right)$

Kan vi beregne krydsproduktet $latex \vec{a}\times\vec{b}$

$latex \vec{a}\times\vec{b}=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3  \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3  \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1  \end{matrix}\right)$

For at beregne krydsproduktet anvendes typisk en lommeregner eller anden stærk værktøj, da udregninger i hånden i dette tilfælde kan resultere i småfejl. Krydsproduktet har en række interessante egenskaber, som man bør vide. Nedenunder har vi samlet 4 vigtige egenskaber

Tager vi udgangspunkt i disse to vektorer

$latex \vec{a}=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3  \end{matrix}\right),\vec{b}=\left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3  \end{matrix}\right)$

1. $latex |\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin{v}$, hvor $latex v$ er vinklen mellem $latex \vec{a}$ og $latex \vec{b}$
2. $latex |\vec{a}\times\vec{b}|$ er arealet af det fremkommende parallelogram
3. $latex \vec{a}\times\vec{b}$ er vinkelret på både $latex \vec{a}$ og $latex \vec{b}$
4. $latex \vec{a}$ er parallel med $latex \vec{b}$, når $latex \vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}$

Opgaver

Det er givet to vektorer:

$latex \vec{a}=\left(\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 4  \end{matrix}\right)\quad\vec{b}=\left(\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 5  \end{matrix}\right)$

Udregn

1. $latex 2\vec{a}-\vec{b}$
2. $latex \vec{a}+\vec{b}$
3. $latex \vec{b}\text{'s projektion på }\vec{a}$

Se løsning

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/12/opg10_stx1.mp4"][/video]

Udregn krydsproduktet af følgende vektorer

$latex C=\left(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3  \end{matrix}\right), \quad D=\left(\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 6  \end{matrix}\right)$

$latex E=\left(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3  \end{matrix}\right), \quad F=\left(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3  \end{matrix}\right)$

Se løsningen

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/12/krydsprodukt.mp4"][/video]