Vi har tidligere studeret linjer, cirkler og trekanter i den todimensionale verden. Det vil sige i et “almindeligt” koordinatsystem. Vi skal her beskæftige os med den tredimensionale geometri. Vi starter derfor med at præsentere koordinatsystemet i den tredimensionale verden.
Koordinatsystemet ovenfor er standard i den tredimensionale verden. Et punkt \(P\) i et koordinatsystem har, som vi ser her 3 koordianter \((x,y,z)\). Som det altså ses nedenfor har vi indtegnet en stedvektor.
Som det ses her, har vektorer også koordinaterne \((x,y,z)\) i et tredimensional verden.
Vektorer i rummet
Vektorregning i den tredimensionale verden ligner meget dem fra den todimensionale verden. Lad os antage vi har fået givet 2 vektorer.
\(\vec{a}=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{matrix}\right),\vec{b}=\left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{matrix}\right)\)
Sum af to vektorer udregnes præcis som i den todimensionale verden. Det samme gøre sig naturligvis også gældende ved differens af to vektorer.
\(\vec{a}\pm\vec{b}=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{matrix}\right)\pm\left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} a_1 \pm b_1 \\ a_2 \pm b_2 \\ a_3 \pm b_3 \end{matrix}\right)\)
Man kan også skalér en vektor ved at gange et tal \(k\), med en vektor som i den todimensionale verden.
\(k\vec{a}=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{matrix}\right)=k\cdot \left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} ka_1 \\ ka_2 \\ ka_3 \end{matrix}\right)\)
Længde- og afstandsformlen
Længde- og afstandsformlen er næsten den samme som i det todimensionale tilfælde, forskellen her er blot, at der er kommet et ekstra led på.
Afstanden mellem disse to punkter \(A\) og \(B\)
\(A(a_1, a_2, a_3), B(b_1, b_2, b_3)\)
bliver
\(|\vec{AB}|=\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+(a_3-b_3)^2}\)
Afstanden mellem de to punkter \(A\) og \(B\) er længden af ovenstående vektor.
Udledning af længde- og afstandsformlen
Lad os kigge på et konkret eksempel med udgangspunkt i to punkter A og B.
\(A(2,2,2), B(0,4,5)\)
\(|\vec{AB}|=\sqrt{(2-0)^2+(2-4)^2+(2-5)^2}=\sqrt{(2)^2+(-2)^2+(-3)^2}\)
\(=\sqrt{4+4+9}=\sqrt{17}\)
Skalarprodukt
Regnereglerne for prikproduktet også kaldt for skalarproduktet af to vektorer er identisk med regnereglerne for skalarproduktet af vektorer i den todimensionale verden.
\(\vec{a}=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{matrix}\right),\vec{b}=\left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{matrix}\right)\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{matrix}\right)=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)
Vinklen mellem to vektorer
Regnereglerne for vinklen mellem to vektorer er stadigvæk præcis den samme som for vektorer i den todimensionale verden
\(\cos{v}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\)
Projektion af en vektor på en vektor
Den samme formel for projektion af en vektor på en vektor i den tredimensionale verden er identisk med formlen i den todimensionale verden.
\(\vec{a}_b=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\cdot\vec{b}\)
Vektorprodukt
Det er vigtigt at man ikke forveksler vektorproduktet med prikproduktet også kaldt for vektorproduktet. Vektorproduktet bliver også kaldt krydsproduktet.
Tager vi udgangspunkt i disse to vektorer
\(\vec{a}=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{matrix}\right),\vec{b}=\left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{matrix}\right)\)
Kan vi beregne krydsproduktet \(\vec{a}\times\vec{b}\)
\(\vec{a}\times\vec{b}=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{matrix}\right)\)
For at beregne krydsproduktet anvendes typisk en lommeregner eller anden stærk værktøj, da udregninger i hånden i dette tilfælde kan resultere i småfejl. Krydsproduktet har en række interessante egenskaber, som man bør vide. Nedenunder har vi samlet 4 vigtige egenskaber
Tager vi udgangspunkt i disse to vektorer
\(\vec{a}=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{matrix}\right),\vec{b}=\left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{matrix}\right)\)
- \(|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin{v}\), hvor \(v\) er vinklen mellem \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\)
- \(|\vec{a}\times\vec{b}|\) er arealet af det fremkommende parallelogram
- \(\vec{a}\times\vec{b}\) er vinkelret på både \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\)
- \(\vec{a}\) er parallel med \(\vec{b}\), når \(\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}\)
Opgaver
Det er givet to vektorer:
\(\vec{a}=\left(\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 4 \end{matrix}\right)\quad\vec{b}=\left(\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}\right)\)
Udregn
- \(2\vec{a}-\vec{b}\)
- \(\vec{a}+\vec{b}\)
- \(\vec{b}\text{‘s projektion på }\vec{a}\)
Se løsning
Udregn krydsproduktet af følgende vektorer
\(C=\left(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\right), \quad D=\left(\begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{matrix}\right)\)
\(E=\left(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\right), \quad F=\left(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix}\right)\)
Se løsningen
