Skalarprodukt

Vi har tidligere set, hvorledes vi udregner summen samt differensen af 2 vektorer. Vi har også set, hvorledes vi ganger et tal med en vektor. Vi mangler dog endnu at se, hvorledes vi ganger 2 vektorer sammen. Produktet af 2 vektorer giver dog ikke en ny vektor i den to dimensionale verden, men derimod i den tre dimensionale verden som vi vil stifte bekendtskab med senere.

Produktet af 2 vektorer kaldes også for prikproduktet. Prikproduktet bliver kaldt for en skalar og er et enkelt tal.

Vi antager her, at vi har 2 vektorer:

\(\vec{a}=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2  \end{matrix}\right),\quad \vec{b}=\left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \end{matrix}\right)\)

Prikproduktet af \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) giver \(a_1b_1+a_2b_2\). Dvs.

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2  \end{matrix}\right) \cdot\left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2 \end{matrix}\right)=a_1b_1+a_2b_2\)

Vi ser altså her, hvorledes man beregner prikproduktet af 2 vektorer. Lad os som en forlængelse se her, hvorledes vi beregner prikproduktet af to tilfældige vektorer

\(\vec{a}=\left(\begin{matrix} 3 \\ 5  \end{matrix}\right),\quad \vec{b}=\left(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}\right)\)

Prikproduktet af \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) giver

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\left(\begin{matrix} 3 \\ 5  \end{matrix}\right) \cdot\left(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}\right)=3\cdot 2+5\cdot 1=11\)

Prikproduktet giver som nævnt et tal og ikke en ny vektor, når vi beskæftiger os med vektorer i planen. Nedenfor er gengivet regnereglerne for skalarproduktet.

Regneregler for skalarprodukter

1. \(\quad \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)
2. \(\quad \vec{a}\cdot\vec{a}=\vec{a}^2=|\vec{a}|^2\)
3. \(\quad (t\vec{a})\cdot\vec{b}=(t\vec{b})\cdot\vec{a}=(\vec{b}\vec{a})\cdot t\)
4. \(\quad \vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}\),

hvor \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) og \(\vec{c}\) er vektorer og \(t\) er et tal.

Bevis

Det er ret nemt at bevise de 4 sætninger. Vi beviser dog her kun sætning nr. 3.

Det er vigtigt at kunne udregne skalarproduktet af 2 vektorer. Vil man eksempelvis udregne vinklen mellem 2 vektorer, er det nødvendigt at kunne udregne skalarproduktet mellem de samme vektorer, idet skalarproduktet indgår i formlen for at beregne vinklen mellem 2 vektorer. For at beregne vinklen mellem 2 vektorer anvendes følgende formel

Vinkel mellem vektorer

Har vi to vektorer, \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\), da kan vi udregne vinklen mellem dem ved hjælp af formlen:

\(cos{(v)}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}\)

Har man 2 vektorer i et koordinatsystem, så er det ligesom ved 2 rette linjer muligt at udregne vinklen mellem disse 2 vektorer

Vi kan eksempelvis beregne vinkel \(v\) ved hjælp af formlen foroven.

Ortogonale vektorer

Når vi regner med vektorer, kan vi i visse tilfælde være i situationer, hvor to vektorer står vinkelret på hinanden. I disse tilfælde siger man at de er ortogonale, dvs. at vinklen mellem disse to er 90 grader.

Der ses i figuren to ortogonale vektorer, disse to vektorer står vinkelret på hinanden.

To vektorer \(\vec{a}\) og \(\vec{b}\) er vinkelrettet, hvis:

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)

Dvs. deres prikprodukt giver 0.

Lad os se nærmere på et konkret eksempel: Vi har her to vektorer: \(\vec{a}=\left(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}\right)\) og \(\vec{b}=\left(\begin{matrix} 3 \\ (-6) \end{matrix}\right)\). Vi beregner her deres prikprodukt:

\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\left(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}\right) \cdot\left(\begin{matrix} 3 \\ (-6) \end{matrix}\right)=4\cdot 3+2\cdot (-6)=0\)

Da de to vektorers prikprodukt er 0, må de to vektorer være ortogonale.

Parallelle vektorer

Når determinanten af to vektorer er lig med 0, da gælder der at de to vektorer er parallelle. Det vil med andre ord sige, at de besidder samme hældning. Nedenunder i koordinatsystemet ses 4 parallelle vektorer.

Læg mærke til her at vektorerne ikke behøver at være ensrettede. De kan lige såvel være modsatrettede vektorere. En determinant på 0 angiver altså at vektorerne er parallelle. Dvs.

\(\det{(\vec{a}, \vec{b})}=0\quad\leftrightarrow\quad\vec{a}||\vec{b}\)

Projektion af vektor på vektor

Vi skal her se lidt nærmere på, hvad det vil sige at udregne en projektion af vektor på vektor og hvorledes vi udregner denne.

I figuren ses projektion af punkter samt vektor.

Tegningen viser altså to vektorer. Den ene er \(\vec{a}=\vec{AB}\) og den anden \(\vec{b}\). Tager vi nu udgangspunkt i vektor \(\vec{a}\) og tegner en linje fra \(A\) vinkelret på linjen nedenunder, fremkommer punktet \(A_1\).

I dette tilfælde er \(A\) projiceret ned på \(\vec{b}\), og man siger at \(A_1\) er projektionen af \(A\). Det samme gør sig naturligvis også gældende for \(B_1\) og \(B\). Vektoren \(\vec{a}_b=\vec{A_1B_1}\) kaldes projektionen af \(\vec{a}\) på \(\vec{b}\). Der gælder, at:

\(\vec{a}_b=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\cdot \vec{b}\)

Formlen kaldes for projektionsformlen.

Tværvektor

Vi skal her se lidt nærmere på tværvektorer og deres egenskab. En tværvektor fremkommer, når man drejer den vektor, man anvender som udgangspunkt 90 grader i positiv retning. Lad os se på et geometrisk illustration.

Som det ses i tegningen så har vi altså drejet vektoren 90 grader i positiv retning. Vi kan opsummere i følgende kasse.

Tager vi udgangspunkt i vektoren \(\vec{a}=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \end{matrix}\right)\), vil dens tværvektor have følgende koordinat:

\(\hat{a}=\left(\begin{matrix} -a_2 \\ a_1 \end{matrix}\right)\)

Husker vi tilbage til ortogonale vektorer, da så vi at produktet mellem to ortogonale vektorer giver 0. Det vil sige ganger vi 2 vektorer sammen der står vinkelret på hinanden må de give 0. Da en vilkårlig vektor og dens tværvektor også står vinkelret på hinanden, må der gælde at produktet mellem en vektor og dens tværvektor også må give 0.

Opgaver  

Udregn følgende prikprodukter:

\(A=\left(\begin{matrix} 2 \\ -1 \end{matrix}\right)\quad B=\left(\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}\right)\quad C=\left(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}\right)\)

a) \(\quad A\cdot B\)

b) \(\quad A\cdot(B+C)\)

c) \(\quad C^2\)

\(\vec{a}=\left(\begin{matrix} -2 \\ -6 \end{matrix}\right), \quad \vec{a}=\left(\begin{matrix} 12 \\ -4 \end{matrix}\right),\quad \vec{a}=\left(\begin{matrix} 6 \\ 18 \end{matrix}\right)\)

Gør rede for, at \(\vec{a}\wedge\vec{b}\) er ortogonale og at \(\vec{a}\) samt \(\vec{c}\).

Løsning

To vektorer er givet ved:

\(\vec{a}=\left(\begin{matrix} 4 \\ -1 \end{matrix}\right), \quad \vec{b}=\left(\begin{matrix} t \\ 5 \end{matrix}\right)\)

Hvor \(t\) er et tal.

Bestem \(t\), så de to vektorer er parallelle.

Løsning