Sinus, cosinus og tangens
Sinus, cosinus og tangens
Vi har tidligere set, hvorledes man definerer cosinus, sinus og tangens ud fra enhedscirklen. I denne lektion skal vi beskæftige os yderligere med retvinklede trekanter samt sinus, cosinus samt tangens og se hvordan man kan bruge disse til at beregne sider og vinkler i retvinklede trekanter.
Sinus, cosinus og tangens
I en retvinklet trekant $latex ABC$ gælder det, at:
- $latex \sin{A}=\frac{a}{c}=\frac{\text{modstående katete}}{\text{hypotenusen}}$
- $latex \cos{A}=\frac{b}{c}=\frac{\text{hosliggende katete}}{\text{hypotenusen}}$
- $latex \tan{A}=\frac{a}{b}=\frac{\text{modstående katete}}{\text{hosliggende katete}}$
Bevis for sinus, cosinus og tangens
[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/10/bevis-trigonomi.mp4"][/video]
Eksempel
Det er ikke unormalt at en vejstrækning kan have op til 10% stigning. Dette betyder at kører man eksempelvis på cykel, så stiger vejen altså med 1 meter, for hver 10 meter man tilbagelægger på cyklen.
Lad os beregne, hvor stor en vinkel vejstrækningen danner med vandret. Med andre ord, vi ønsker at beregne vinkel $latex A$ på tegningen.
Da vi kender vinkel $latex A$'s modstående katete samt hypotenusen kan vi anvende sinus til vinkel $latex A$:
$latex \sin{(A)}=\frac{a}{c}$
$latex \sin{(A)}=\frac{1}{10}=0,10$
Da vi nu kender $latex \sin{(A)}$, kan vi nemt beregne den inverse eller omvendte til $latex \sin{(A)}$:
$latex \sin{(A)}=0,10$
$latex \sin{(0,1)^{-1}}=5,74°$
Vi ser altså at vejstrækningen danner en vinkel på 5,74 grader vandret.
Vi har altså i sidste trin anvendt følgende regel:
$latex \sin{(X)}=Y\quad\rightarrow\quad\sin{(Y)}^{-1}=X$
Eksempel:
$latex \sin{(30°)}=0,5\quad\rightarrow\quad\sin{(0,5)}^{-1}=30°$
Øvelse gør mester, prøv at løse opgaverne i næste sektion.
