Vi har tidligere set, hvorledes man definerer cosinus, sinus og tangens ud fra enhedscirklen. I denne lektion skal vi beskæftige os yderligere med retvinklede trekanter samt sinus, cosinus samt tangens og se hvordan man kan bruge disse til at beregne sider og vinkler i retvinklede trekanter.
Sinus, cosinus og tangens
I en retvinklet trekant \(ABC\) gælder det, at:
- \(\sin{A}=\frac{a}{c}=\frac{\text{modstående katete}}{\text{hypotenusen}}\)
- \(\cos{A}=\frac{b}{c}=\frac{\text{hosliggende katete}}{\text{hypotenusen}}\)
- \(\tan{A}=\frac{a}{b}=\frac{\text{modstående katete}}{\text{hosliggende katete}}\)
Bevis for sinus, cosinus og tangens
Eksempel
Det er ikke unormalt at en vejstrækning kan have op til 10% stigning. Dette betyder at kører man eksempelvis på cykel, så stiger vejen altså med 1 meter, for hver 10 meter man tilbagelægger på cyklen.
Lad os beregne, hvor stor en vinkel vejstrækningen danner med vandret. Med andre ord, vi ønsker at beregne vinkel \(A\) på tegningen.
Da vi kender vinkel \(A\)’s modstående katete samt hypotenusen kan vi anvende sinus til vinkel \(A\):
\(\sin{(A)}=\frac{a}{c}\)
\(\sin{(A)}=\frac{1}{10}=0,10\)
Da vi nu kender \(\sin{(A)}\), kan vi nemt beregne den inverse eller omvendte til \(\sin{(A)}\):
\(\sin{(A)}=0,10\)
\(\sin{(0,1)^{-1}}=5,74°\)
Vi ser altså at vejstrækningen danner en vinkel på 5,74 grader vandret.
Vi har altså i sidste trin anvendt følgende regel:
\(\sin{(X)}=Y\quad\rightarrow\quad\sin{(Y)}^{-1}=X\)
Eksempel:
\(\sin{(30°)}=0,5\quad\rightarrow\quad\sin{(0,5)}^{-1}=30°\)
Øvelse gør mester, prøv at løse opgaverne i næste sektion.
