Ofte når man skal løse differentialligninger, samler man alt hvad der indeholder variablen y på den ene side af lighedstegnet og alt andet(x'erne) på den anden side. Det er ligesom, når vi løste ligninger på c-niveau, hvor vi isolerede den ubekendte på den ene side af lighedstegnet og alle andre konstanter på den anden side.

Hvis vi har en differentialligning af typen:

$latex \frac{dy}{dx}=g(y)\cdot h(x)$

I tilfælde af, at $latex h$ er kontinuert i et interval $latex I$, og $latex g$ er kontinuert i et andet interval $latex J$ og $latex g(y)\neq 0$, har ligningen ovenfor løsningen:

$latex \int\frac{1}{g(y)}\,\text{d}y=\int h(x)\,\text{d}x+c$

Vi har altså samlet samtlige $latex y$'er på venstre side og alle $latex x$'erne på højre side.

Bevis

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/11/Seperation_variable.mp4"][/video]

Eksempel

Lad os her kigge nærmere på et eksempel, hvor vi anvender løsningsformen.

Vi har her differentialligningen:

$latex y'=\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2xy$

Vi ønsker nu at bestemme løsningen til differentialligningen, hvis graf går gennem punktet (3, -1). Vi ser her, at en af løsningenerne er $latex y=0$. For at finde de andre løsninger, skal vi separere $latex x$ og $latex y$.

$latex \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2xy\rightarrow\int \frac{1}{y}\,\text{d}y=\int 2x\,\text{d}x+c$

Vi integrerer altså $latex \frac{1}{y}$ og $latex 2x$, hvorefter vi lægger integrationskonstanten $latex c$ til. Vi får nu:

$latex \ln(-y)=x^2+c$

Hvor $latex c$ er integrationskonstanten.

Vi skal nu bestemme konstanten $latex c$, der tvinger grafen til at gå igennem punktet (3,-1). Dette kan vi gøre ved at indsætte punktet ind på deres pladser i løsningen. Dvs.

$latex \ln(1)=3^2+c\leftrightarrow -9=c$

Den ønskede løsning bliver dermed

$latex \ln(-y)=x^2-9\leftrightarrow y=-e^{x^2-9}$

Bemærk her, at $latex y$ ikke kan give 0, værdimængden er derfor via løsningen defineret for $latex y>0$ og $latex y<0$, men da værdimængden skal værdien -1 (der er negativt), kan vi kun bruge løsninger i området $latex y<0$.