Separation af variable

Ofte når man skal løse differentialligninger, samler man alt hvad der indeholder variablen på den ene side af lighedstegnet og alt andet(x’erne) på den anden side. Det er ligesom, når vi løste ligninger på c-niveau, hvor vi isolerede den ubekendte på den ene side af lighedstegnet og alle andre konstanter på den anden side.

Hvis vi har en differentialligning af typen:

\(\frac{dy}{dx}=g(y)\cdot h(x)\)

I tilfælde af, at \(h\) er kontinuert i et interval \(I\), og \(g\) er kontinuert i et andet interval \(J\) og \(g(y)\neq 0\), har ligningen ovenfor løsningen:

\(\int\frac{1}{g(y)}\,\text{d}y=\int h(x)\,\text{d}x+c\)

Vi har altså samlet samtlige \(y\)’er på venstre side og alle \(x\)’erne på højre side.

Bevis

 

Eksempel

Lad os her kigge nærmere på et eksempel, hvor vi anvender løsningsformen.

Vi har her differentialligningen:

\(y’=\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2xy\)

Vi ønsker nu at bestemme løsningen til differentialligningen, hvis graf går gennem punktet (3, -1). Vi ser her, at en af løsningenerne er \(y=0\). For at finde de andre løsninger, skal vi separere \(x\) og \(y\).

\(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2xy\rightarrow\int \frac{1}{y}\,\text{d}y=\int 2x\,\text{d}x+c\)

Vi integrerer altså \(\frac{1}{y}\) og \(2x\), hvorefter vi lægger integrationskonstanten \(c\) til. Vi får nu:

\(\ln(-y)=x^2+c\)

Hvor \(c\) er integrationskonstanten.

Vi skal nu bestemme konstanten \(c\), der tvinger grafen til at gå igennem punktet (3,-1). Dette kan vi gøre ved at indsætte punktet ind på deres pladser i løsningen. Dvs.

\(\ln(1)=3^2+c\leftrightarrow -9=c\)

Den ønskede løsning bliver dermed

\(\ln(-y)=x^2-9\leftrightarrow y=-e^{x^2-9}\)

Bemærk her, at \(y\) ikke kan give 0, værdimængden er derfor via løsningen defineret for \(y>0\) og \(y<0\), men da værdimængden skal værdien -1 (der er negativt), kan vi kun bruge løsninger i området \(y<0\)

2 Kommentarer

  1. Mads Rønfeldt Nielsen

    Jeg tænker der er en taste fejl i starten af siden hvor der står:”dy/dx = g(x)*h(x)”. Der skal istedet stå “dy/dx = g(y)*h(x)”

    Svar
  2. Jonathan Lindahl

    Hej Mads

    Det har du helt ret i.
    Det er hermed rettet – tak for det! 🙂

    Svar

Indsend en kommentar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.