Sammenhænge

I lærebøger, aviser og mange undersøgelser ser man ofte sammenhænge mellem variable størrelser beskrevet ved grafer og tabeller. Fx hvordan antallet af biler afhænger af indkomsten eller hvordan mobilregningen afhænger af, hvor lang tid man taler i telefon.

Fælles for disse eksempler er, at der i hvert tilfælde foreligger to størrelser, hvor den ene afhænger af den anden. Sådanne størrelser kaldes for variabler. I eksemplet med mobiltelefonen kalder man mobilregningen for den afhængige variabel og tiden for den uafhængige variabel.

Ved en lineære sammenhæng forstås en sammenhæng, hvor grafen er en ret linje.

Proportionalitet

To variabler \(x\) og \(y\) kaldes proportionale, hvis forholdet mellem dem er konstant. Dvs. \(y\) er proportionalt med \(x\), når:

\(\frac{y}{x}=k\),

hvor konstanten \(k\) kaldes for proportionalitetsfaktoren.

Sagt på en anden måde betyder det såmænd, at \(x\) og \(y\) vokser i præcis samme takt. Dvs. fordobler vi værdien af \(x\), vil vi også fordoble værdien af \(y\). Dette kan ses ved at gange ovenstående ligning med \(k\) på begge sider: \(y=kx\). Har vi f.eks.: \(y=2\cdot x\) betyder det, at \(y\) vokser med 2, hver gang \(x\) vokser med 1.

Omvendt Proportionalitet

To variabler kaldes omvendt proportionale, hvis og kun hvis deres produkt er konstant. Dvs. \(y\) er omvendt proportional med \(x\), når

\(y\cdot x=k\)

Dvs. gør vi \(x\) dobbelt så stor, bliver \(y\) halvt så stor.

Lineære forskrift

I koordinatsystemet ser vi på ligninger af typen: \(y=ax+b\).

Figuren her viser en ret linje, der er tegnet ind i et koordinatsystem. Det stykke \(a\)som linjen stiger med, når \(x\) vokser med 1, kaldes linjens hældningskoefficient, mange kalder den også ofte for blot dens hældning. Vi ser herudover, at linjen skærer \(y\)-aksen. Vi kalder linjens afskæring på \(y\)-aksen for \(b\)En ret linje har derfor forskriften: \(y=ax+b\).

Skærmbillede 2013-10-23 kl. 8.47.20 PM

Vi ser i figuren at for hver enhed, vi går ud på \(x\)-aksen, går vi 2 enheder op på \(y\)-aksen. Linjen har altså hældningskoefficienten 2. Vi ser yderligere at den rette linje skærer \(y\)-aksen i værdien 4. I dette tilfælde er 4, vores skæringspunkt med \(y\)-aksen og kaldes normalt for linjens afskæring på \(y\)-aksen. Den rette linje har derfor forskriften: \(y=2x+4\)

ret linje

Her ser vi at den rette linje skærer \(y\)-aksen i 2 og for hver enhed vi går ud på \(x\)-aksen stiger den rette linje med 1 på \(y\)-aksen. Derfor er forskriften for denne rette linje som følger: \(y=x+2\).

lineære_graf2

I dette tilfælde ses, at den rette linje er aftagende. Det vil sige at den har en negativ hældning, \(a\). Vi ser her, at den rette linje skærer \(y\)-aksen i værdien 5 og falder med en enhed, for hver enhed vi går ud på \(x\)-aksen. Derfor må \(a\) være lig -1 og denne rette linje har forskriften: \(y=-x+5\).

Dvs. en ret linje, der ikke er parallel med \(y\)-aksen, har en ligning af typen \(y=ax+b\). Konstanten \(a\) er grafens hældning, og \(b\) er afskæringen på \(y\)-aksen.

 

Man kan nemt beregne forskriftens \(a\) og \(b\), når vi kender 2 punkter \(A\) og \(B\) i et koordinatsystem.

\(A(x_1, y_1),\quad\quad B(x_2, y_2)\)

\(a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
\(b=y_1-a\cdot x_1\)

0 kommentarer

Indsend en kommentar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *