I mange af de anvendelser af matematik vi fremover kommer til at møde, er det ret vigtigt at kende til potenser og rødder. Disse volder store problemer hos mange elever. Derfor vil vi her introducere alle de regneregler man bør kunne mestre på mindst c-niveau. En potens er et tal der ganges med sig selv et givet antal gange. I stedet for at skrive $latex 3\cdot3\cdot3\cdot3$, så kan det opstilles som en potens. Dvs.

$latex 3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81$

 $latex 3^4$ læses som "3 i fjerde". Hvilket betyder 3 ganget med sig selv 4 gange. Generelt kan en potens opstilles på følgende måde:

$latex x^n$

Hvor $latex x$ kaldes for grundtallet, mens $latex n$ kaldes for eksponenten. I eksemplet ovenover er 3 altså grundtallet, mens 4 er eksponenten. Der findes en række potensregneregler, som det er ret vigtigt at lære. Vi vil her introducere disse ved både videoer samt tekster.

Potensregneregler

Generelt har vi følgende potensregneregler. Længere nede på siden kan du se en mere dybdegående gennemgang af alle potensregnereglerne med eksempler. $latex a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n}$ $latex (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$ $latex a^n\cdot a^m=a^{n+m}$ $latex \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ $latex (a^m)^n=a^{m\cdot n}$

$latex \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n},\quad b\neq 0$

$latex a^{-n}=\frac{1}{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}=\frac{1}{a^n},\quad a\neq 0$

$latex a^{-1}=\frac{1}{a},\quad a\neq 0$

$latex a^0=1,\quad a\neq 0$

$latex a^{\frac{n}{i}}=\sqrt[i]{a^n}$

Reglen for potens af et produkt

   

$latex (2x)^2=2x\cdot2x=2\cdot2\cdot x\cdot x=4x^2$

Generelt kan vi skrive formlen som

$latex (a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n$

Reglen for multiplikation af to potenser med det samme grundtal

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/10/Produkt_potens_forskellig_eksp.mp4"][/video]  

$latex 3^2\cdot 3^4=3^{2+4}=3^6=729$

Generelt så lyder reglen, at

$latex a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

Med ord siger vi, at hvis vi ganger potenser med samme grundtal, lægges eksponenterne blot sammen og vi beholder grundtallet.

Reglen for division af to potenser med samme grundtal

$latex \frac{2^5}{2^2}=\frac{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}{2\cdot 2}=2\cdot 2\cdot 2=2^3$

Vi kan også skrive det således:

 $latex \frac{2^5}{2^2}=2^{5-2}=2^3$

Generelt kan vi skrive reglen som

$latex \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

Med ord siger vi, at ved division af potenser med samme grundtal, trækkes eksponenterne blot fra hinanden, mens vi beholder grundtallet.

Reglen for potenser af potenser

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/10/potens_i_potens.mp4"][/video]  

$latex (2^3)^2=2^{3\cdot 2}=2^6$

Den generelle regel lyder altså som følgende:

$latex (a^m)^n=a^{m\cdot n}$

Med ord siger vi, at når vi tager en potens af en potens, ganger vi eksponenterne og beholder grundtallet.

Reglen for potens af en brøk

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/10/Potens_kvotient_forskellig_grundtal.mp4"][/video]  

$latex \left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1\cdot1\cdot1}{2\cdot2\cdot2}=\frac{1^3}{2^3}$

Den generelle regel er

$latex \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n},\quad b\neq0$

Negative eksponenter

Det kan også være, at vi støder ind på negative eksponenter.

$latex 2^{-2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2^2}$

Generelt kan vi skrive

$latex a^{-n}=\frac{1}{a^n},\quad a\neq 0$

Det er vigtigt at nævne, at vi har et specialtilfælde af ovenstående regel, hvis $latex -n=-1$. Da gælder der

$latex a^{-1}=\frac{1}{a}, \quad a\neq 0$

Eksponenten nul

Nu har vi kigget nærmere på både de positive samt negative eksponenter. Det kan jo også ske, at eksponenten er 0. Lad os se på et eksempel. Vi betragter nu brøken

$latex \frac{2^3}{2^3}$

Hvis vi kigger på regnereglen for division af potenser med samme grundtal, så får vi

$latex \frac{2^3}{2^3}=2^{3-3}=2^0$

Men vi ved samtidig, at en brøk med det samme tal i tæller og nævner giver 1

$latex \frac{2^3}{2^3}=1$

Vi kan nu observere, at brøken er både lig med $latex 2^0$ og med 1. De må derfor være lig hinanden

$latex 2^0=1$

Dette gælder for alle potenser undtagen, hvis grundtallet er 0 (dvs. $latex a\neq 0$). Derfor kan vi mere generelt skrive

$latex a^0=1,\quad a\neq 0$

Reglen for et grundtal opløftet i en brøk

Vi kan også komme ud for, at eksponenten er en brøk. Her gælder der

$latex 3^{\frac{2}{5}}=\sqrt[5]{3^2}=\sqrt[5]{9}=1,5518$

Generelt kan vi skrive

$latex a^{\frac{n}{i}}=\sqrt[i]{a^n}$

Dvs. opløftes et grundtal i en brøk, så svarer til at tage nævnerens rod af grundtallet opløftet i tælleren. Desuden har vi, at når grundtallet opløftes i en $latex 1/2$ svarer det til kvadratroden af grundtallet. Dvs.

$latex a^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{a^1}=\sqrt{a}$

Opgaver

Udregn følgende potenser, hvor $latex a$ angiver roden, og $latex x$ angiver eksponenten.

1. $latex a=2, x=4$
2. $latex a=3, x=3$
3. $latex a=-3, x=3$
4. $latex a=-9, x=2$
5. $latex a=5, x=3$
6. $latex a=6, x=3$

Se løsningerne [video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/10/potensoplftning.mp4"][/video]   Udregn følgende potenser, hvor $latex a$ angiver roden og $latex x$ angiver eksponenten.

1. $latex a=2, x=-4$
2. $latex a=3, x=-3$
3. $latex a=-3, x=-3$
4. $latex a=-9, x=-2$
5. $latex a=5, x=-3$

Se løsningerne [video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/10/Negativ-potens.mp4"][/video]   Udregn følgende potenser, hvor $latex a$ angiver roden og $latex x$ angiver eksponenten.

1. $latex a=-2, x=3$
2. $latex a=3, x=-2$
3. $latex a=10, x=3$
4. $latex a=4, x=-3$
5. $latex a=8, x=0$
6. $latex a=1/2, x=2$
7. $latex a=5, x=-1$

Se løsningerne [video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/10/potensregning.mp4"][/video]   Udregn ved hjælp af potensregnereglerne følgende regnestykker.

1. $latex 3^2\cdot 3^1$
2. $latex 2^3\cdot 2^2$
3. $latex \frac{3^2}{3^1}$
4. $latex \frac{2^2}{2^3}$
5. $latex 3^2\cdot 2^2$
6. $latex 4^2\cdot 2^2$

Se løsningerne [video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/10/potenser.mp4"][/video]