Potensfunktioner

Vi har tidligere set kapitler om forskellige former for vækst. Vi har blandt andet kigget på lineære funktioner og lineære vækst samt eksponentiel vækst. Vi skal her kigge på en anden vigtig vækstfunktion, nemlig de såkaldte potensfunktioner.

Simple potensfunktioner

Vi ser herunder en række simple potensfunktioner:

\(f(x)=x^2,\quad\quad g(x)=x^{4,5},\quad\quad h(x)=x^{-1}\)

Disse kaldes for potensfunktioner, fordi den uafhængige variabel \(x\) opløftes til en potens. Der gælder, at \(x>0\), det vil sige at \(x\) skal være positiv. Vi har her antaget, at \(b\) værdien er lig 1. I praksis arbejder man for det meste med forskrifter af typen:

\(f(x)=b\cdot x^a\)

Vigtige formler at kunne i forhold til potensfunktioner, er beregningen af \(a\) og \(b\)givet 2 punkter i et koordinatsystem:

\(A(x_1,y_1)\quad\quad B(x_2, y_2)\)

\(a=\frac{\log{(y_2)}-\log{(y_1)}}{\log{(x_2)}-\log{(x_1)}}\)

Har vi fået oplyst 2 punkter i et koordinatsystem, kan vi altså beregne eksponenten \(a\), i forskriften for den potensfunktion, der netop løber igennem de 2 punkter ved anvendelse af ovenstående formlen.

Når vi har beregnet eksponenten \(a\)kan vi herefter nemt beregne \(b\) ved at bruge resultatet fra \(a\) i følgende formel:

\(b=\frac{y_1}{x^a_1}\)

2 Kommentarer

  1. Anna

    Hvad bruger man potensfunktioner til i hverdagen?

    Svar
  2. Jonathan Lindahl

    Hej Anna

    Tusind tak for et rigtig godt spørgsmål.

    Potensfunktioner kan bruges til at forklare og forudsige mange sammenhænge i den virkelige verden.
    Et rigtig godt eksempel er udbredelsen af aids. I starten af epidemien så det ud som om, at udbredelsen af aids var en eksponentiel vækst. Men over tid viste det sig faktisk, at væksten i udbredelsen var aftagende. Hvis man havde brugt en eksponentiel model til at forudsige antallet af fremtidige HIV smittede personer vil det have resulteret et overestimat af antallet af HIV smittede personer i fremtiden, og derved et overestimat af nødvendig hospital plads, medicin mv. Hvis man i stedet brugte en potensfunktion (hvor eksponenten a var mellem 0 og 1) til at forudsige antallet af HIV smittede personer i starten af epidemien, vil du få et mere præcist estimat.

    Så samlet set kan man sige, at mange sammenhænge i den virkelige verden kan forklares ved en potensfunktion. Hvilket kan være nyttigt, hvis vi f.eks. skal prøve at forudsige udviklingen i fremtiden.

    Jeg håber du kan finde mit svar brugbart, og at det ikke blev alt for kringlet. 🙂

    Svar

Indsend en kommentar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *