Potensfunktioner

Vi har tidligere set kapitler om forskellige former for vækst. Vi har blandt andet kigget på lineære funktioner og lineære vækst samt eksponentiel vækst. Vi skal her kigge på en anden vigtig vækstfunktion, nemlig de såkaldte potensfunktioner.

Simple potensfunktioner

Vi ser herunder en række simple potensfunktioner:

\(f(x)=x^2,\quad\quad g(x)=x^{4,5},\quad\quad h(x)=x^{-1}\)

Disse kaldes for potensfunktioner, fordi den uafhængige variabel \(x\) opløftes til en potens. Der gælder, at \(x>0\), det vil sige at \(x\) skal være positiv. Vi har her antaget, at \(b\) værdien er lig 1. I praksis arbejder man for det meste med forskrifter af typen:

\(f(x)=b\cdot x^a\)

Vigtige formler at kunne i forhold til potensfunktioner, er beregningen af \(a\) og \(b\)givet 2 punkter i et koordinatsystem:

\(A(x_1,y_1)\quad\quad B(x_2, y_2)\)

\(a=\frac{\log{(y_2)}-\log{(y_1)}}{\log{(x_2)}-\log{(x_1)}}\)

Har vi fået oplyst 2 punkter i et koordinatsystem, kan vi altså beregne eksponenten \(a\), i forskriften for den potensfunktion, der netop løber igennem de 2 punkter ved anvendelse af ovenstående formlen.

Når vi har beregnet eksponenten \(a\)kan vi herefter nemt beregne \(b\) ved at bruge resultatet fra \(a\) i følgende formel:

\(b=\frac{y_1}{x^a_1}\)

Eksempler på potenfunktioner

Herunder er der opstillet en rækker eksempler på forskellige potensfunktioner:

\(f(x)=3\cdot x^{\frac{1}{4}}\)

Her er \(a=\frac{1}{4}\), mens \(b=3\).

Et andet eksempel på en potensfunktion:

\(f(x)=10\cdot x^{2}\)

Her er \(a=2\), mens \(b=10\).

Hvis du har mod på det, kan du prøve at tegne en graf for disse to potensfunktioner.

7 Kommentarer

  1. Anna

    Hvad bruger man potensfunktioner til i hverdagen?

    Svar
  2. Jonathan Lindahl

    Hej Anna

    Tusind tak for et rigtig godt spørgsmål.

    Potensfunktioner kan bruges til at forklare og forudsige mange sammenhænge i den virkelige verden.
    Et rigtig godt eksempel er udbredelsen af aids. I starten af epidemien så det ud som om, at udbredelsen af aids var en eksponentiel vækst. Men over tid viste det sig faktisk, at væksten i udbredelsen var aftagende. Hvis man havde brugt en eksponentiel model til at forudsige antallet af fremtidige HIV smittede personer vil det have resulteret et overestimat af antallet af HIV smittede personer i fremtiden, og derved et overestimat af nødvendig hospital plads, medicin mv. Hvis man i stedet brugte en potensfunktion (hvor eksponenten a var mellem 0 og 1) til at forudsige antallet af HIV smittede personer i starten af epidemien, vil du få et mere præcist estimat.

    Så samlet set kan man sige, at mange sammenhænge i den virkelige verden kan forklares ved en potensfunktion. Hvilket kan være nyttigt, hvis vi f.eks. skal prøve at forudsige udviklingen i fremtiden.

    Jeg håber du kan finde mit svar brugbart, og at det ikke blev alt for kringlet. 🙂

    Svar
  3. Frederikke

    har du flere eks.????

    Svar
  4. Jonathan Lindahl

    Hej Frederikke

    Jeg har tilføjet to eksempler på potensfunktioner nederst på ovenstående side. Håber det kan bruges 🙂

    Svar
  5. Kamile

    Hej jeg har stor problem med matematik, jeg skriver spørgsmål her, jeg kiggede mange gange, men kunne ikke finde ud af det. 🙁 jeg vil blive meget glad, hvis du kan hjælpe mig 🙂 Tusind tak 🙂 Vh. Kamile
    En prognose siger, at antallet af biler på ringvejen vil vokse med 8% om året. En anden prognose regner med en stigning på 500 biler om året. Tafikken på Udbyringvej stiger støt. Der er ofte kødannelse og der kører ca. 5000 biler i døgnet. Vejvæsnet oplyser, at der først kan blive tale om at udvide vejen, når trafikken er fordobbelt.
    A) LAV UD AF PROGNOSERNE TABELLER OG GRAFER, DER VISER TRAFIKKEN DE KOMMENDE 10 ÅR?
    Tak for hjælpen 🙂 🙂

    Svar
    • Kamile

      Tusind tak for hjælpen 🙂 jeg forstod meget bedre nu 🙂 det gav meget mening 🙂

      Svar
  6. Jonathan Lindahl

    Hej Kamile

    Hvis der kører 5.000 biler om dagen, kører der

    $$5.000\cdot 365 = 1.825.000$$

    biler om året.

    Prognose 1: Stigning på 8 pct. om året kan beregnes således:

    $$\text{bil}_n = 1.825.000 \cdot (1+0,08)^{n}$$

    Hvis du vil finde ud af, hvor mange biler der der forventes at være det første år, skal du indsætte 1 i stedet for n i ovenstående ligning. Dette kan du gøre for alle årene fra 1 til 10.

    Prognose 2: Stigning på 500 om året kan beregnes således:

    $$\text{bil}_n = 1.825.000 + (500\cdot n)$$

    Igen kan du indsætte årene (f.eks. 1 for det første år) i stedet for n.

    Jeg håber det giver mening. Ellers må du endelig sige til. 🙂

    Svar

Indsend en kommentar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.