Potensfunktioner

Vi har tidligere set kapitler om forskellige former for vækst. Vi har blandt andet kigget på lineære funktioner og lineære vækst samt eksponentiel vækst. Vi skal her kigge på en anden vigtig vækstfunktion, nemlig de såkaldte potensfunktioner.

Simple potensfunktioner

Vi ser herunder en række simple potensfunktioner:

\(f(x)=x^2,\quad\quad g(x)=x^{4,5},\quad\quad h(x)=x^{-1}\)

Disse kaldes for potensfunktioner, fordi den uafhængige variabel \(x\) opløftes til en potens. Der gælder, at \(x>0\), det vil sige at \(x\) skal være positiv. Vi har her antaget, at \(b\) værdien er lig 1. I praksis arbejder man for det meste med forskrifter af typen:

\(f(x)=b\cdot x^a\)

Vigtige formler at kunne i forhold til potensfunktioner, er beregningen af \(a\) og \(b\), givet 2 punkter i et koordinatsystem:

\(A(x_1,y_1)\quad\quad B(x_2, y_2)\)

\(a=\frac{\log{(y_2)}-\log{(y_1)}}{\log{(x_2)}-\log{(x_1)}}\)

Har vi fået oplyst 2 punkter i et koordinatsystem, kan vi altså beregne eksponenten \(a\), i forskriften for den potensfunktion, der netop løber igennem de 2 punkter ved anvendelse af ovenstående formlen.

Når vi har beregnet eksponenten \(a\), kan vi herefter nemt beregne \(b\) ved at bruge resultatet fra \(a\) i følgende formel:

\(b=\frac{y_1}{x^a_1}\)

Eksempler på potenfunktioner

Herunder er der opstillet en rækker eksempler på forskellige potensfunktioner:

\(f(x)=3\cdot x^{\frac{1}{4}}\)

Her er \(a=\frac{1}{4}\), mens \(b=3\).

Et andet eksempel på en potensfunktion:

\(f(x)=10\cdot x^{2}\)

Her er \(a=2\), mens \(b=10\).

Hvis du har mod på det, kan du prøve at tegne en graf for disse to potensfunktioner.