Polynomier af højere grad: Introduktion

Vi har tidligere kigget på andengradspolynomier af formen:

\(ax^2+bx+c=0, \quad\quad a\neq 0\)

Her skal være forskellig fra 0, ellers reduceres forskriften til en førstegradsligning. Vi finder rødderne for et andengradspolynomium ved at sætte andengradsligning lig 0 og herefter isolere \(x\).

Vi kan også mere bekvemt anvende følgende formler – nulpunktsformlen samt formlen for diskriminanten.

\(x=\frac{-b\pm\sqrt{d}}{2a}\)

\(d=b^2-4ac\)

Det er forholdsvist nemt at bestemme rødderne i disse tilfælde. En funktionen begrænser sig dog ikke kun til andengradspolynomier, vi kan også støde ind på trejdegradspolynomier og fjerdegradspolynomier.

\(f(x)=2x^4+4x^3-1,5x^2+0,5x+5\)

\(g(x)=x^3-5x^2+2x-1\)

\(f(x)\) er et fjerdegradspolynomium, fordi den højeste eksponent er 4, man siger også at polynomiet har graden 4. Tallene 2, 4, -1,5, 0,5 og 5 kaldes polynomiets koefficienter, mens tallet 5 også bliver kaldt for konstantleddet visse steder.

Vi kan mere generelt opsummere et fleregradspolynomium som

\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0\)

hvor \(a\) kaldes for polynomiets koefficient og \(n\) er graden. Vi skal altså her beskæftige os med polynomier af højere grad. Vi ved fra tidligere lektioner at et andengradspolynomium kan højst have 2 rødder.

Skærmbillede 2013-10-25 kl. 10.24.45 PM

Et flere gradspolynomium kan have flere rødder end 2. Et fjerdegradspolynomium kan have helt op til 4 rødder, et trejdegradspolynomium kan have helt op til 3 rødder osv.

Skærmbillede 2013-11-13 kl. 6.44.52 PM

Her ser vi eksempelvis et trejdegradspolynomium med 3 rødder. Vi skal i den efterfølgende sektion kigge nærmere på, hvorledes vi kan udføre en funktionsanalyse af et fleregradspolynomium ved bestemme rødder for et flere gradspolynomium, men for at kunne bestemme rødderne på fleregradspolynomier, skal vi blandt andet lære, hvorledes vi dividerer et polynomium. I dette tilfælde taler man om en polynomiums division.

0 kommentarer

Indsend en kommentar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.