Logaritmer

Bestemmelse af logaritmen til et tal er den omvendte regning til potens af tallet 10. Logartimen til et positivt tal er den eksponent, der skal opløftes til for at give tallet. Det vil med andre ord sige følgende:

\(\log{(10)}=1\quad\quad\text{fordi}\quad\quad10^1=10\)
\(\log{(100)}=2\quad\quad\text{fordi}\quad\quad10^2=100\)
\(\log{(1000)}=3\quad\quad\text{fordi}\quad\quad10^3=1000\)

I matematik på c-niveau beskæftiger man sig oftest med 10-talslogaritmer. Det vil sige potenser med en base på 10, basen er et synonym for grundtallet som også kaldes for roden og den naturlige logaritme. Men der findes jo uendelig mange potenser med forskellige baser. I den følgende videolektion kommer vi lidt nærmere ind på logaritmer med forskellige baser/rødder.

Logaritmer – definition

  • Ved funktionen \(\log{(x)}\) forstås den omvendte funktion til \(10^x\).
  • Ved funktionen \(\ln{(x)}\) forstås den omvendte funktion til \(e^x\).

 

Der gælder altså at når en funktion virker på et tal \(x\), gælder der at \(f(x)=y\)Det vil sige vi får en eller anden funktionsværdi, \(y\), som er angivet på \(y\)aksen. Lader vi herefter den omvendte funktion virke på \(y\), kommer vi tilbage til udgangspunktet \(x\).

Regneregler for logaritmer

Logaritmen til en potens

Man tager logaritimen til en potens ved at tage logaritmen til roden og gange den med eksponenten:

\(\log{(a^x)}=x\cdot\log{(a)}\)

Logaritmen til et produkt

Logaritmen til et produkt er summen af faktorernes logaritmer:

\(\log{(a\cdot b)}=\log{(a)}+\log{(b)}\)

Logaritmen til en brøk

Logaritmen til en brøk er logaritmen til tælleren minus logaritmen til nævneren.

\(\log{\left(\frac{a}{b}\right)}=\log{(a)}-\log{(b)}\)

8 Kommentarer

  1. Sofie Lok

    Hej
    Jeg er tvivl om hvordan jeg skal regne denne ligning ud med hjælp af logaritmer: 5^x=2·3^x
    Er det noget i kan hjælpe mig med?

    Svar
  2. Jonathan Lindahl

    Hej Sofie

    Tak for dit spørgsmål. Det er en rigtig god opgave, hvor du skal bruge alle tre regneregler for at løse ligningen. 🙂

    Hvis du starter med at tage logaritmen til ligningen, får du følgende (jf. regnereglerne ved overskriften “Logaritmen til en potens” og “Logaritmen til et produkt”):

    $$x\cdot\log{(5)}=\log{(2)}+x\cdot\log{(3)}$$

    Herefter prøv at se, om du kan isolere x i denne ligning (du skal bl.a. bruge regnereglen ved overskriften “Logaritmen til en brøk”). Resultatet bliver:

    $$x=\frac{\log{(2)}}{\log\left(\frac{5}{3}\right)}$$

    Hvis du ikke kan komme frem til denne ligning (eller har spørgsmål til det første trin), så sig endelig til. Så vil jeg uddybe det. Men prøv først at se, om du kan få samme resultat ved at isolere x. 🙂

    Svar
    • Knud

      Giver det ikke:
      Log(2) / log(5/3) ?

      Svar
      • Jonathan Lindahl

        Hej Knud

        Jo, naturligvis gør det dét.
        Der må lige være sket et tastefejl – tak for at gøre mig opmærksom på det. 🙂

        Svar
  3. Sofie

    Hvordan isolerer man x, når man har følgende ligning?

    1,26 = -log(x)

    Svar
  4. Jonathan Lindahl

    Hej Sofie

    Ganger vi ligningen med minus på begge sider, får vi:

    $$\log(x)=-1,26$$

    For at isolere x, kan vi bruge følgende regneregel:

    $$\log_b(x)=y < => x=b^y$$

    b er ikke eksplicit angivet i din ligning. Når den ikke er det, er b=10. Ved at bruge ovenstående regneregel (og b=10), får vi:

    $$x=10^{-1,26}\approx 0,05495$$

    Vi kan teste resultatet ved at indsætte x i din ligning:

    $$\log(10^{-1,26})=-1,26$$

    Dvs. vi har det rigtige resultat.
    Jeg håber det giver mening. Ellers må du endelig sige til 🙂

    Svar
  5. Elna

    Log1/2(2)=ln2/ln1/2=-1. kan sidste del ses uden lommeregner?

    Svar
  6. Jonathan Lindahl

    Hej Elna

    Tak for dit spørgsmål.

    Jeg tror ikke helt, at jeg forstår din ligning.
    Skal ligningen forstås som:

    $$\log\left(\frac{1}{2}\right)\cdot 2$$

    For dette giver ikke -1, men i stedet ≈ -0,602.

    Svar

Indsend en kommentar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.