Logaritmer
Logaritmer
Bestemmelse af logaritmen til et tal er den omvendte regning til potens af tallet 10. Logartimen til et positivt tal er den eksponent, der skal opløftes til for at give tallet. Det vil med andre ord sige følgende:
$latex \log{(10)}=1\quad\quad\text{fordi}\quad\quad10^1=10$
$latex \log{(100)}=2\quad\quad\text{fordi}\quad\quad10^2=100$
$latex \log{(1000)}=3\quad\quad\text{fordi}\quad\quad10^3=1000$
I matematik på c-niveau beskæftiger man sig oftest med 10-talslogaritmer. Det vil sige potenser med en base på 10, basen er et synonym for grundtallet som også kaldes for roden og den naturlige logaritme. Men der findes jo uendelig mange potenser med forskellige baser. I den følgende videolektion kommer vi lidt nærmere ind på logaritmer med forskellige baser/rødder.
Logaritmer - definition
- Ved funktionen $latex \log{(x)}$ forstås den omvendte funktion til $latex 10^x$.
- Ved funktionen $latex \ln{(x)}$ forstås den omvendte funktion til $latex e^x$.
[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/10/logaritme-1.mp4"][/video]
Der gælder altså at når en funktion virker på et tal $latex x$, gælder der at $latex f(x)=y$. Det vil sige vi får en eller anden funktionsværdi, $latex y$, som er angivet på $latex y$-aksen. Lader vi herefter den omvendte funktion virke på $latex y$, kommer vi tilbage til udgangspunktet $latex x$.
Regneregler for logaritmer
Logaritmen til en potens
Man tager logaritimen til en potens ved at tage logaritmen til roden og gange den med eksponenten:
$latex \log{(a^x)}=x\cdot\log{(a)}$
Logaritmen til et produkt
Logaritmen til et produkt er summen af faktorernes logaritmer:
$latex \log{(a\cdot b)}=\log{(a)}+\log{(b)}$
Logaritmen til en brøk
Logaritmen til en brøk er logaritmen til tælleren minus logaritmen til nævneren.
$latex \log{\left(\frac{a}{b}\right)}=\log{(a)}-\log{(b)}$
