Vi har tidligere i den todimensionale verden kunnet beskrive en ret linje ved ligningen $latex y=ax+b$, hvor $latex b$ er skæringspunktet med den lodrette akse og stigningstallet, $latex a$. I den tredimensionale verden benytter man sig af parameterfremstillinger til at beskrive rette linjer i rummet. Vi så tidligere i planen, at for at beskrive en linje kræves der kendskab med et kendt punkt $latex P$ samt en retningsvektoren:

$latex P=(x_0, y_0, z_0), \quad\quad\vec{r}=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3  \end{matrix}\right)$

Lad os kaste et blik i koordinatsystemet, hvor vi har en grøn ret linje, et løbende punkt samt det kendte punkt.

Vi kan nu bestemme stedvektoren til det løbende punkt $latex P$ ved at anvende indskudsreglen.

$latex \vec{OP}=\vec{OP_0}+\vec{P_0P}$

Sidste led på højresiden er parallel med retningsvektoren, derfor kan det skrives som et tal, $latex t$, ganget med retningsvektoren. Det vil sige:

$latex \vec{OP}=\vec{OP_0}+\vec{P_0P}\leftrightarrow\vec{OP}=\vec{OP_0}+t\vec{r}\leftrightarrow \left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{matrix}\right)+t\cdot \left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{matrix}\right)$

Læg her mærke til at parameterfremstillingen ligner den fra planen. Der er her kommet en ekstra række på. Ligesom i planen kan vi også skrive parameterfremstillingen som 3 koordinatligninger.

$latex x=x_0+ta_1$

$latex y=y_0+ta_2$

$latex z=z+ta_3$

Lad os kigge på et konkret eksempel:

Linje gennem to punkter

Der er her givet 2 punkter $latex A(1,3,3)$ og $latex B(3,-1,2)$. For at bestemme parameterfremstillingen, kræves det at vi bestemmer retningsvektoren, dertil anvendes de 2 punkter.

$latex \vec{r}=\vec{AB}=\left(\begin{matrix} 3-1 \\ -1-3 \\ 2-1 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} -2 \\ -4 \\ 1 \end{matrix}\right)$

Som et kendt anvendes punktet $latex A$. Herved får vi parameterfremstillingen:

$latex \left(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}\right)+t\cdot\left(\begin{matrix} -2 \\ -4 \\ 1 \end{matrix}\right)$

Skæring mellem linjer

Vi har nu set, hvorledes vi bestemmer parameterfremstillingen for en linje. Vi så tidligere i planen at, hvis 2 linjer ikke er parallelle må disse 2 linjer skære hinanden i ét punkt. Næsten samme regler gøres gældende for linjer i rummet:

• Hvis linjerne er parallelle

1. Enten vil der være uendelig mange skæringspunkter
2. Der vil ingen skæringerpunkter være overhovedet

• Hvis linjerne ikke er parallelle, gælder følgende udsagn

1. Linjerne vil skærer hinanden i ét enkelt punkt ELLERS
2. Linjerne er vindskæve og kommer aldrig til at skærer hinanden

Opgaver

Det er her givet 2 punkter:

$latex A(3,-2,1)$
$latex B(-5,3,-1)$

1. Bestem en parameterfremstilling for linjen gennem $latex A$ samt $latex B$
2. Undersøg om punktet $latex P(-1,\frac{1}{2},1)$ ligger på linjen

Løsning

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/12/opg8_stx2.mp4"][/video]