I matematisk finansiering anvendes i stor udstrækning differentialligninger til at beskrive udviklingen af obligationer, aktier, optioner og mange andre afledte aktiver. Mange søgemaskiner anvender ligeledes differentialligninger til at optimere deres algoritmer. I matematik spiller differentialligninger en større og større rolle.

Lineære differentialligninger

En differentialligning af typen:

$latex \frac{\text{d} y}{\text{d} x}+a(x)\cdot y=b(x)$

bliver kaldt for en lineær differentialligning. Når $latex g(x)$ bliver udskiftet med 0, taler man om homogene differentialligninger:

$latex \frac{\text{d} y}{\text{d} x}+a(x)\cdot y=0$

En lineær differentialligning kan have mange løsninger, har en ligning kun én løsning, siger man normalt at ligningen har en partikulær løsning.

Vi opsummerer: Hvis vi har en lineær differentialligning af typen:

$latex \frac{\text{d} y}{\text{d} x}+a(x)\cdot y=b(x)$

Vil den fuldstændige løsning være:

$latex y=c\cdot e^{-A(x)}+e^{-A(x)} \int e^{A(x)}b(x)\,\text{d} x$

Her er $latex A(x)$ en stamfunktion til $latex a(x)$.

Der eksisterer dog også simple lineære differentialligninger, hvor både $latex h(x)$ samt $latex g(x)$ er udskiftet med konstanter. Disse typer af lineære differentialligninger er lettere at arbejde med og bliver også anvendt i en række discipliner især indenfor økonomistudier.

Hvis vi har en lineær differentialligning af typen:

$latex \frac{\text{d} y}{\text{d}x}+ay=b$

Hvor $latex a$ og $latex b$ er konstanter, vil den fuldstændige løsning være:

$latex y=\frac{b}{a}+c\cdot e^{-ax}$

Bevis

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/11/Bevis-diff-hhx.mp4"][/video]

Hvis vi nu tager udgangspunkt i den ovenstående lineær differentialligning og sætter $latex b=0$, får vi den simpleste form for lineær differentialligning:

$latex \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=ay \leftrightarrow \frac{\text{d}y}{\text{d}x}-ay=0$

Hvor $latex a$ er en konstant, vil den fuldstændige løsning være:

$latex y=c\cdot e^{ax}$

Bevis

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/11/bevis-differentialligning-2-hhx.mp4"][/video]

Eksempel

Vi vil her løse en simpel lineær differentialligning. Vi har her differentialligningen:

$latex y'=\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2y \leftrightarrow \frac{\text{d}y}{\text{d}x}-2y=0$

Den fuldstændige løsning er:

$latex y=c\cdot e^{2x}$

Vi ønsker nu at bestemme løsningen til differentialligningen, hvis graf går gennem punktet (2,1). Vi skal bestemme konstanten $latex c$, der tvinger grafen til at gå igennem punktet (2,1). Dette kan vi gøre ved at indsætte punktet ind på deres pladser i løsningen:

$latex 1=c\cdot e^{2\cdot 2} \leftrightarrow e^{-4}=c$

Den ønskede løsning bliver dermed

$latex y=e^{-4}\cdot e^{2x} \leftrightarrow y=e^{2x-4}$

Den logistiske ligning

I matematik kan værdier blive uendelig store eller negative, dette stemmer dog sjældent overens med den virkelige verden. En population af kaniner på en øde ø kan eksempelvis ikke vokse konstant. På et eller andet tidspunkt vil føde og plads slippe op og derfor vil der jo være en grænse for, hvor mange kaniner der kan leve på et sted. En populationen kan heller ikke antage negative værdier af gode grunde. Disse begrænsninger kan man i matematik mere præcist indenfor differentialregning tage højde for. Logistiske differentialligninger har både en nedre samt øvre grænse.

Den logistiske ligning har følgende

$latex \frac{\text{d} y}{\text{d} x}=ay(M-y)$

Differentialligningen har for $latex 0<y<M$ løsningen:

$latex y=\frac{M}{1+c\cdot e^{-aMx}}$

hvor $latex c$ er en positiv konstant.

Den logistiske ligning har to vandrette asymptoter $latex y=0$ og $latex y=M$. Når $latex x$ går mod uendelig, vil eksponentialleddet gå mod 0, derfor vil brøken nærme sig $latex M$. Når $latex x$ derimod går mod minus uendelig vil $latex y$ gå mod 0. Sætningen kan bevises ved separation af de variable.

Bevis

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/11/Bevis-den-logistiske-ligning.mp4"][/video]

Opgave

Antag at vi befinder os i et marked, hvor den aggregerede efterspørgsel efter et produkt følger følgende forskrift:

$latex E(p)=a-bP$

Hvor $latex a$ og $latex B$ er positive konstanter og $latex P$ er pris. Det aggregerede udbud af produktet følger følgende forskrift:

$latex U(P)=\alpha+\beta P$

Hvor $latex \alpha$ og $latex \beta$ er positive konstanter og $latex P$ er pris.

Antag at prisen på produktet varierer med tiden. Dvs. $latex P(t)$. Yderligere så gælder det, at $latex P'(t)$ er proportionelt med netto efterspørgslen efter det pågældende varer.

$latex P'(t)=\kappa\left(E(p)-U(p)\right)$

Hvor $latex \kappa$ er en positiv konstant.

1. Bestem prisen $latex P$.
2. Hvad er ligevægtsprisen? (Vink: Lad $latex t$ gå mod uendelig).

Løsning

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/11/diff1.mp4"][/video]