Vi starter her med at kigge på et eksperiment med et antal mulige udfald. Mængden af alle udfald kaldes som vi så i forrige sektion for eksperimentets udfaldsrum. En kast med en terning har altså følgende udfaldsrum

$latex U=\{1,2,3,4,5,6\}$

Vi så også tidligere at hvert udfald i udfaldsrummet har en sandsynlighed. Et sandsynlighedfelt består altså af et udfaldsrum med en mængde udfald.

$latex U=\{u_1,u_2,u_3,\ldots,u_n\}$

Sandsynlighedsfunktionen betegnes med $latex P(u)$ og angiver sandsynligheden for et udfald, $latex u$. Summen af alle sandsynligheder skal summe op til 1.

$latex P(u_1)+P(u_2)+P(u_3)+\ldots+P(u_n)=1$

Hændelse

Hvergang vi spiller et spil eller udfører et eksperiment med et bestemt udfaldsrum, vil et eller flere af udfaldene indtræffe. I tilfælde af at et af udfaldene indtræffer, taler man, at hændelsen $latex H$ indtræffer. Mere generelt kan vi formulere hændelsen $latex H$ som en delmængde af udfaldsrummet.

I tilfælde at af, vi kaster med en terning med 6 øjne, har vi følgende udfaldsrum

$latex U=\{1,2,3,4,5,6\}$

Et "ulige antal øjne" giver hændelsen $latex H$. Hændelsen vil være

$latex H=\{1,3,5\}$

Sandsynligheden for at hændelsen $latex H$ indtræffer vil være

$latex P(H)=P(u_1)+P(u_3)+P(u_5)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

Sandsynligheden for at vi får et ulige antal øjne er altså 0,50 eller 50%. Den hændelse at man ikke slår et ulige antal øjne, kaldes i matematik for den komplementære hændelse.

Kombinatorik

Vi skal her vide en smule om kombinatorik. Kombinatorik handler om på, hvor mange måder man kan opstille ting på. Eksempelvis har vi 4 forskellige kugler

På billedet ser vi én måde at opstille de 4 bolde på: blå, gul, rød og grøn. Vi kan også bytte om på den blå og gule bold, således at vi får: gul, blå, rød og grøn. Spørgsmålet her er, hvor mange måder kan vi opstille disse 4 på?

Vi kan prøve at tænke os frem til resultatet, på den første plads har vi 4 forskellige bolde at vælge imellem. Vi kan her vælge den blå bold, når denne plads er besat er der så kun 3 andre bolde at vælge imellem for den næste plads, her kan vi eksempelvis vælge den gule bold. På tredjepladsen har vi således kun 2 bolde at vælge imellem, den grønne og den røde bold. Vælges her den røde bold, har vi en plads tilbage og en bold. Det samlede resultat for pladserne bliver nu

$latex 4\cdot3\cdot2\cdot1=24$

Man har i matematik indført en bestemt skrivemåde for et sådant produkt af tal. I vores tilfælde betegnes ovenstående som $latex 4!$, som skal læses som 4 fakultet. 8 fakultet giver: $latex 8!=40320$, 7 fakultet giver: $latex 7! = 5040$, man har herudover i matematik vedtaget, at $latex 0! = 1$.

Lad os nu antage, at vi putter de 4 bolde ned i en pose og at vi herefter kan trække 2 bolde op med lukkede øjne. Nu kan vi spørge os selv om, hvor mange måder de 2 bolde vi trækker op kan sammensættes på i farver? Altså på hvor mange måder kan vi udtage en mængde på 2 ud fra en mængde på 4? Matematisk set, kan vi formulere dette meget kort ved $latex K(2,4)$. Vi kan beregne dette ved at anvende følgende formel.

$latex K(n,r)=\frac{n!}{r!\cdot(n-r)!}$

Den giver os altså antallet af $latex r$ -mængder, der kan udtages fra en $latex n$-mængde. Skal vi beregne $latex K(2,4)$, får vi altså

$latex K(4,2)=\frac{4!}{2!\cdot(4-2)!}=\frac{24}{4}=6$

Der er altså 6 måder, hvorpå vi kan sammensætte de 2 bolde på.

Repetition

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/11/sandsynlighed.mp4"][/video]