Vi starter her med at kigge på et eksperiment med et antal mulige udfald. Mængden af alle udfald kaldes som vi så i forrige sektion for eksperimentets udfaldsrum. En kast med en terning har altså følgende udfaldsrum
\(U=\{1,2,3,4,5,6\}\)
Vi så også tidligere at hvert udfald i udfaldsrummet har en sandsynlighed. Et sandsynlighedfelt består altså af et udfaldsrum med en mængde udfald.
\(U=\{u_1,u_2,u_3,\ldots,u_n\}\)
Sandsynlighedsfunktionen betegnes med \(P(u)\) og angiver sandsynligheden for et udfald, \(u\). Summen af alle sandsynligheder skal summe op til 1.
\(P(u_1)+P(u_2)+P(u_3)+\ldots+P(u_n)=1\)
Hændelse
Hvergang vi spiller et spil eller udfører et eksperiment med et bestemt udfaldsrum, vil et eller flere af udfaldene indtræffe. I tilfælde af at et af udfaldene indtræffer, taler man, at hændelsen \(H\) indtræffer. Mere generelt kan vi formulere hændelsen \(H\) som en delmængde af udfaldsrummet.
I tilfælde at af, vi kaster med en terning med 6 øjne, har vi følgende udfaldsrum
\(U=\{1,2,3,4,5,6\}\)
Et “ulige antal øjne” giver hændelsen \(H\). Hændelsen vil være
\(H=\{1,3,5\}\)
Sandsynligheden for at hændelsen \(H\) indtræffer vil være
\(P(H)=P(u_1)+P(u_3)+P(u_5)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)
Sandsynligheden for at vi får et ulige antal øjne er altså 0,50 eller 50%. Den hændelse at man ikke slår et ulige antal øjne, kaldes i matematik for den komplementære hændelse.
Kombinatorik
Vi skal her vide en smule om kombinatorik. Kombinatorik handler om på, hvor mange måder man kan opstille ting på. Eksempelvis har vi 4 forskellige kugler
På billedet ser vi én måde at opstille de 4 bolde på: blå, gul, rød og grøn. Vi kan også bytte om på den blå og gule bold, således at vi får: gul, blå, rød og grøn. Spørgsmålet her er, hvor mange måder kan vi opstille disse 4 på?
Vi kan prøve at tænke os frem til resultatet, på den første plads har vi 4 forskellige bolde at vælge imellem. Vi kan her vælge den blå bold, når denne plads er besat er der så kun 3 andre bolde at vælge imellem for den næste plads, her kan vi eksempelvis vælge den gule bold. På tredjepladsen har vi således kun 2 bolde at vælge imellem, den grønne og den røde bold. Vælges her den røde bold, har vi en plads tilbage og en bold. Det samlede resultat for pladserne bliver nu
\(4\cdot3\cdot2\cdot1=24\)
Man har i matematik indført en bestemt skrivemåde for et sådant produkt af tal. I vores tilfælde betegnes ovenstående som \(4!\), som skal læses som 4 fakultet. 8 fakultet giver: \(8!=40320\), 7 fakultet giver: \(7! = 5040\), man har herudover i matematik vedtaget, at \(0! = 1\).
Lad os nu antage, at vi putter de 4 bolde ned i en pose og at vi herefter kan trække 2 bolde op med lukkede øjne. Nu kan vi spørge os selv om, hvor mange måder de 2 bolde vi trækker op kan sammensættes på i farver? Altså på hvor mange måder kan vi udtage en mængde på 2 ud fra en mængde på 4? Matematisk set, kan vi formulere dette meget kort ved \(K(2,4)\). Vi kan beregne dette ved at anvende følgende formel.
\(K(n,r)=\frac{n!}{r!\cdot(n-r)!}\)
Den giver os altså antallet af \(r\) -mængder, der kan udtages fra en \(n\)–mængde. Skal vi beregne \(K(2,4)\), får vi altså
\(K(4,2)=\frac{4!}{2!\cdot(4-2)!}=\frac{24}{4}=6\)
Der er altså 6 måder, hvorpå vi kan sammensætte de 2 bolde på.
