Graf gennem et givet punkt

Efter at have præsenteret differentialligningen i forrige kapital, vil vi gå et lille skridt videre og lade grafen for integralkurven løbe gennem et givet punkt i vores koordinatsystem. Dette sætter krav til vores integrationskonstant, nu skal den ikke blot indtage en vilkårlig værdi, men derimod et bestemt tal.

Eksempel

Vi har her differentialligningen

\(y’=\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=3x^2\)

Vi ønsker nu at bestemme den fuldstændige løsning, hvis graf går gennem punktet (3,2). Den fuldstændige løsning til ligningen er:

\(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=3x^2 \rightarrow y=\int 3x^2\,\text{d}x + c\)

Vi integrerer altså \(3x^2\) og lægger integrationskonstanten \(c\) til. Vi får nu:

\(y=x^3+c\)

Hvor \(c\) er integrationskonstanten.

Vi skal nu bestemme konstanten \(c\), det gør at grafen går igennem punktet (3,2). Dette kan vi gøre ved at indsætte punktet ind på deres pladser i løsningen

\(2=3^3+c \leftrightarrow -25=c\)

Den ønskede løsning bliver dermed

\(y=x^3-25\)

Opgaver

Opgave 1

Antag at \(x\) er en akties øjeblikkelige værdi, hvor \(x\) er løsningen til følgende ligning:

\(x^2\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=t+1\)

Bestem en forskrift for \(x\), når det antages at aktien er 100 kr. værd i tid 0.

Løsning

 

Opgave 2

Bestem i hvert af følgende tilfælde den løsning, hvis graf går gennem det angivne punkt:

\(\text{a)}\, \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=4x+2 \quad\quad\quad\,\, \text{Pkt.}\, (2,1)\)

\(\text{b)}\, \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=x^2x^{-1}+3 \quad\quad \text{Pkt.}\, (1,4)\)

Løsning

0 kommentarer

Indsend en kommentar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *