Graf gennem et givet punkt
Graf gennem et givet punkt
Efter at have præsenteret differentialligningen i forrige kapital, vil vi gå et lille skridt videre og lade grafen for integralkurven løbe gennem et givet punkt i vores koordinatsystem. Dette sætter krav til vores integrationskonstant, nu skal den ikke blot indtage en vilkårlig værdi, men derimod et bestemt tal.
Eksempel
Vi har her differentialligningen
$latex y'=\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=3x^2$
Vi ønsker nu at bestemme den fuldstændige løsning, hvis graf går gennem punktet (3,2). Den fuldstændige løsning til ligningen er:
$latex \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=3x^2 \rightarrow y=\int 3x^2\,\text{d}x + c$
Vi integrerer altså $latex 3x^2$ og lægger integrationskonstanten $latex c$ til. Vi får nu:
$latex y=x^3+c$
Hvor $latex c$ er integrationskonstanten.
Vi skal nu bestemme konstanten $latex c$, det gør at grafen går igennem punktet (3,2). Dette kan vi gøre ved at indsætte punktet ind på deres pladser i løsningen
$latex 2=3^3+c \leftrightarrow -25=c$
Den ønskede løsning bliver dermed
$latex y=x^3-25$
Opgaver
Opgave 1
Antag at $latex x$ er en akties øjeblikkelige værdi, hvor $latex x$ er løsningen til følgende ligning:
$latex x^2\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=t+1$
Bestem en forskrift for $latex x$, når det antages at aktien er 100 kr. værd i tid 0.
Løsning
[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/11/Opg15_STX1.mp4"][/video]
Opgave 2
Bestem i hvert af følgende tilfælde den løsning, hvis graf går gennem det angivne punkt:
$latex \text{a)}\, \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=4x+2 \quad\quad\quad\,\, \text{Pkt.}\, (2,1)$
$latex \text{b)}\, \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=x^2x^{-1}+3 \quad\quad \text{Pkt.}\, (1,4)$
Løsning
[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/11/differential-ligning-2.mp4"][/video]
