Fordoblings- og halveringskonstant

Vi så under renteformel eksemplet at, hvis vi sætter penge i banken til en fast rente, vil beløbet vokse med tiden. Der må gælde, at beløbet på et eller andet tidspunkt vil blive fordoblet. Eksempelvis vil en kapital, der forrentes med ca. 2,5% p.a. vil være fordoblet på ca. 28 år. Venter man yderligere 28 år igen, vil man opdage at beløbet igen vil være fordoblet.

Man siger i dette tilfælde at kapitalen har fordoblingstiden 28 år. På samme vis kan man for enhver eksponentielt voksende funktion også definere en såkaldt fordoblingskonstant, som er den tilvækst på \(x\), der fordobler \(y\).

Grafen

Ved fordoblingskonstanten \(T_2\) for en eksponentielt voksende funktion forstås den tilvækst \(T_2=x_2-x_1\), man skal give \(x_1\) for, at funktionsværdien \(y\) bliver det dobbelte: \(2y\).

Der er en sammenhæng mellem en voksende eksponentialfunktions grundtal og dens fordoblingskonstant. Når grundtallet er stor, vokser funktionen hurtigt og fordoblingskonstanten bliver lille. På den anden side, hvis grundtallet er lille det vil sige tæt på 1, vokser funktionen derimod langsomt og fordoblingskonstanten bliver stor.

Der gælder at:

En eksponentielt voksende funktion med forskriften \(f(x)=b\cdot a^x\) (hvor \(a>1\)) har fordoblingskonstanten:

\(T_2=\frac{\log{(2)}}{\log{(a)}}=\frac{\ln{(2)}}{\ln{(a)}}\)

Halveringskonstant

På samme vis, som man for en eksponentielt voksende funktion definerer fordoblingskonstanten, kan man definere en halveringskonstant for en eksponentielt aftagende funktion.

Skærmbillede 2013-10-25 kl. 3.49.16 PM

Ved halveringskonstanten \(T_{1/2}\) for en eksponentielt aftagende funktion forstås den tilvækst \(T_{1/2}=x_2-x_1\), man skal give \(x_1\) for at funktionsværdien \(y\) bliver halveret. Dvs. \(0,5y\).

Formlen til at beregne halveringskonstanten har vi herunder:

En eksponentielt aftagende funktion med forskriften \(f(x)=b\cdot a^x\) (hvor \(0<a<1\)) har halveringskonstanten:

\(T_{1/2}=\frac{\log{(1/2)}}{\log{(a)}}=\frac{\ln{(1/2)}}{\ln{(a)}}\)

Se, hvorledes vi kan beregne halveringskonstanten for funktionen:

\(f(x)=20\cdot 0,91^x\)

0 kommentarer

Indsend en kommentar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *