Vi skal her beskæftige os med differensligninger. Differensligninger minder en del om differentialligninger, der er dog en stor forskel mellem disse 2 ligninger. Man arbejder kun med differensligninger under diskrete tider, hvorimod man med differentialligninger arbejder under kontinuerlig tidsinterval. Vi har her diskrete tider, $latex t=0,1,2,3,\ldots$. Her kan $latex t$ kun indtage bestemte heltal. Kalder vi vores funktionsværdi her for $latex x$ (tidligere kaldt for $latex y$), har vi altså

$latex x_0, x_1, x_2, \ldots \leftrightarrow x(0), x(1), x(2), \ldots \rightarrow x_t=x(t)$

$latex x(t)$ er med andre ord en funktion, som afhænger af den diskrete variabel $latex t$, som normalt symboliserer tid. Det kan være sekunder, minutter, timer, dage, år osv. Lader vi nu $latex f$ være en funktion af $latex x$ og $latex t$, kan vi beregne $latex x(t+1)$. Det vil sige:

$latex x_{t+1}=f(t,x_t), \quad\quad t=0,1,2,\dots$

Dette er altså en første ordens differensligning, da dens værdi i tid $latex t+1$ er afhængig af dens værdi perioden forinden, dvs., i tid $latex t$. Dette medfører at, hvis vi kender $latex x(0)$, da kan vi også beregne $latex x(1), x(2), \dots$

$latex x_0$
$latex x_1=f(0, x_0)$
$latex x_2=f(1, x_1)=f(1, f(0,x_0))$
$latex \vdots$

Kender vi med andre ord en af de tidligere værdier $latex x(t)$, kan vi beregne de fremtidige værdier. Vi kan natuligvis ikke benytte ovenstående fremgangsmåde, idet hvis vi eksempelvis skal beregne $latex x(125)$, da vil ovenstående fremgangsmåde være meget tidskrævende. Vi ønsker med andre ord at bestemme en ligning, der nemt kan give os løsningen på $latex x(125)$. Lad os kigge på et taleksempel.

Vi antager, at $latex x(0)=2$. Vi ønsker nu at bestemme løsningen for følgende differensligning:

$latex x_{t+1}=-3x_t, \quad\quad t=0,1,2,\dots$

Læg her mærke til at, siden vi har fået opgivet $latex x(0)=2$, må der gælde

$latex x_0=2$
$latex x_1=-3x_0=-3\cdot 2$
$latex x_2=-3x_1=-3(-3\cdot 2)=(-3)^2\cdot 2$
$latex x_3=-3x_2=-3(-3)^2\cdot 2=(-3)^3\cdot 2$
$latex \vdots$

Der må altså gælde, at

$latex x_t=(-3)^t\cdot 2, \quad\quad t=0,1,2,\cdots$

Mere generelt kan vi her skrive

$latex x_t=a^tx_0, \quad\quad t=0,1,2,\cdots$

Vi har altså her løsningsformen for ovenstående differensligning. Ikke alle differensligninger er dog ligeså nemme at løse som ovenstående tilfælde. Differensligninger kan, som vi skal se senere, være udfordrende at løse.