Vi skal her beskæftige os med differensligninger. Differensligninger minder en del om differentialligninger, der er dog en stor forskel mellem disse 2 ligninger. Man arbejder kun med differensligninger under diskrete tider, hvorimod man med differentialligninger arbejder under kontinuerlig tidsinterval. Vi har her diskrete tider, \(t=0,1,2,3,\ldots\). Her kan \(t\) kun indtage bestemte heltal. Kalder vi vores funktionsværdi her for \(x\) (tidligere kaldt for \(y\)), har vi altså
\(x_0, x_1, x_2, \ldots \leftrightarrow x(0), x(1), x(2), \ldots \rightarrow x_t=x(t)\)
\(x(t)\) er med andre ord en funktion, som afhænger af den diskrete variabel \(t\), som normalt symboliserer tid. Det kan være sekunder, minutter, timer, dage, år osv. Lader vi nu \(f\) være en funktion af \(x\) og \(t\), kan vi beregne \(x(t+1)\). Det vil sige:
\(x_{t+1}=f(t,x_t), \quad\quad t=0,1,2,\dots\)
Dette er altså en første ordens differensligning, da dens værdi i tid \(t+1\) er afhængig af dens værdi perioden forinden, dvs., i tid \(t\). Dette medfører at, hvis vi kender \(x(0)\), da kan vi også beregne \(x(1), x(2), \dots\)
\(x_0\)
\(x_1=f(0, x_0)\)
\(x_2=f(1, x_1)=f(1, f(0,x_0))\)
\(\vdots\)
Kender vi med andre ord en af de tidligere værdier \(x(t)\), kan vi beregne de fremtidige værdier. Vi kan natuligvis ikke benytte ovenstående fremgangsmåde, idet hvis vi eksempelvis skal beregne \(x(125)\), da vil ovenstående fremgangsmåde være meget tidskrævende. Vi ønsker med andre ord at bestemme en ligning, der nemt kan give os løsningen på \(x(125)\). Lad os kigge på et taleksempel.
Vi antager, at \(x(0)=2\). Vi ønsker nu at bestemme løsningen for følgende differensligning:
\(x_{t+1}=-3x_t, \quad\quad t=0,1,2,\dots\)
Læg her mærke til at, siden vi har fået opgivet \(x(0)=2\), må der gælde
\(x_0=2\)
\(x_1=-3x_0=-3\cdot 2\)
\(x_2=-3x_1=-3(-3\cdot 2)=(-3)^2\cdot 2\)
\(x_3=-3x_2=-3(-3)^2\cdot 2=(-3)^3\cdot 2\)
\(\vdots\)
Der må altså gælde, at
\(x_t=(-3)^t\cdot 2, \quad\quad t=0,1,2,\cdots\)
Mere generelt kan vi her skrive
\(x_t=a^tx_0, \quad\quad t=0,1,2,\cdots\)
Vi har altså her løsningsformen for ovenstående differensligning. Ikke alle differensligninger er dog ligeså nemme at løse som ovenstående tilfælde. Differensligninger kan, som vi skal se senere, være udfordrende at løse.
