Bestemt integral og areal

For at beregne arealet A(x) mellem den vandrette akse samt en funktion \(f(x)\), skal vi anvende integration.

Skærmbillede 2013-11-05 kl. 8.53.03 AM

Ved integration beregnes med andre ord det grønne område under grafen og den vandrette akse. Arealet er en funktion af x, det vil sige arealet vokser i x. Jo større område funktion dækker på x-aksen, des større bliver det grønne område og dermed også arealet. I alle tilfælder ønsker man at beregne arealet mellem den vandrette akse og funktionen \(f(x)\) i et afgrænset interval. I matematik på B – niveau, beregner man normalt arealet for den del af funktionen \(f\)der ligger over den vandrette akse, dvs. for \(f(x)>0\).

Det bestemte integral

Vi har nedenunder afgrænset et interval på x-aksen, som vi vil beregne arealet for.

Skærmbillede 2013-11-05 kl. 10.05.33 AM

I dette tilfælde kan vi beregne det grønne areal, der løber fra \(a\) til \(b\) på den vandrette akse (x-aksen) og vandrette akse og funktionen \(f(x)\) på den den lodrette akse (y-aksen) ved følgende formel.

Hvis \(f(x)>0\) er kontinuert i intervallet \([a; b]\) med stamfunktionen \(F\). Da beregnes arealet mellem \(f\) og den vandrette akse ved:

\(F(b)-F(a)\)

\(A=\int_a^b f(x)\,\text{d}x=[F(x)]^b_a=F(b)-F(a)\)

Vi integrerer altså med andre ord funktionen \(f(x)\) over intervallet \([a; b]\) for at beregne arealet mellem funktionen og grafen for \(f(x)\). De 2 tal, \(a\) og \(b\) bliver kaldt for integrationsgrænserne, det vil sige at vi integrerer mellem \(a\) og \(b\) på den vandrette akse. Siden vi integrerer mellem et bestemt interval på x-aksen, kalder vi integralet for det bestemte integral. Ovenstående sætning er sand for \(f(x)>0\).

Bevis

 

I tilfælde af, at \(f(x)<0\), vil grafen for denne samt den vandrette akse stadig danne et areal. I disse tilfælde kan vi naturligvis også beregne arealet mellem grafen og den vandrette akse.

Hvis \(f(x)<0\) er kontinuert i intervallet \([a; b]\) med stamfunktionen \(F\). Da beregnes arealet mellem \(f\) og den vandrette akse ved:

\(F(a)-F(b)\)

\(A=-\int_a^b f(x)\,\text{d}x=-[F(x)]^b_a=F(a)-F(b)\)

Da vi beregner et areal giver det bestemte integral et tal, hvorimod det ubestemte integral giver en stamfunktion.

\(\int_a^b f(x)\,\text{d}x=\text{et tal}\)

\(\int f(x)\,\text{d}x=\text{en funktion}\)

Lad os se et taleksempel om, hvorledes vi udregner et bestemt integral og dermed beregne arealet af en funktion \(f(x)\).

Eksempel

lad os tage udgangspunkt i følgende funktion

\(f(x)=x^2+2\)

Vi ønsker nu at beregne arealet af området under grafen for \(f(x)\) og den vandrette akse fra 1 til 3. Ifølge vores teori må arealet være lig med integralet af funktionen fra 1 til 3.

\(A=\int_1^3 x^2+1\,\text{d}x=\left[\frac{1}{3}x^3+x\right]^3_1=\frac{1}{3}3^3+3-\left(\frac{1}{3}3^1+1\right)=12-2=10\)

Vi får altså et areal på 10, vi starter altså med at tage udgangspunkt i vores funktion \(f(x)\)herefter bestemmer vi det ubestemte integral, hvorefter vi tager integrationsgrænserne i betragtning.

Prøv nu at teste dig selv ved at løse

\(\int^3_1 x^2+2x\,\text{d} x\)

Se løsningen

 

Indskudsreglen

Hvis vi antager at funktionen \(f(x)\) er kontinuert i intervallet \(I\)da kan intergrationen foretages særskilt i hvert interval. Da gælder der for tallene \(a\), \(b\) og \(c\).

\(\int_a^b f(x)\,\text{d}x=\int_a^c f(x)\,\text{d}x+\int^b_c f(x)\,\text{d}x\)

Bevis

\(\int_a^c f(x)\,\text{d}x+\int_c^b f(x)\,\text{d}x=[F(x)]^c_a+[F(x)]^b_c\)

\(=F(c)-F(a)+F(b)-F(c)\)

\(=F(b)-F(a)\)

\(=\int_a^b f(x)\,\text{d}x\)

Regneregler

Vi vil opsummere de vigtigste regneregler indenfor integration herunder. Vi antager, at \(f\) er en kontinuerlig funktion i et interval, der indeholder konstanterne \(a\), \(b\) og \(c\).

\(\int_a^c f(x)\,\text{d}x+\int_c^b f(x)\,\text{d}x=\int_a^b f(x)\,\text{d}x\)

\(\int_a^a f(x)\,\text{d}x=0\)

\(\int_a^b c\cdot f(x)\,\text{d}x=c\cdot \int_a^b f(x)\,\text{d}x\)

\(\int_a^b f(x)\,\text{d}x=-\int_b^a f(x)\,\text{d}x\)

Opgaver           

Skærmbillede 2013-11-05 kl. 5.12.50 PM

1. Beregn her arealet af det gule skraverede område, når vi får at vide at \(f(x)\) har følgende forskrift

\(f(x)=e^{\frac{x}{2}}-4\)

2. Diskuter kort om arealet for det skraverede område fundet, er rimelig?

Se løsningen

 

Udregn følgende integraler

a) \(f_1(x)=e^{2x}, \quad\quad\quad a=2, \quad b=4\)

b) \(f_2(x)=x-x^3-x^5, \quad a=-2, \quad b=2\)

Se løsningen

 

Udregn følgende integraler

a) \(f_1(x)=\int_0^2(x+8^2+2)\,\text{d}x\)

b) \(f_2(x)=\int_1^3\left(\frac{1}{x}+2x^{-1}\right)\,\text{d}x\)

Se løsningen

 

Udregn følgende integral

a) \(b(t)=\frac{1}{k}(1-e^{-kt}), \quad\quad k=2, \quad a=0, \quad b=2\)

Se løsningen

0 kommentarer

Indsend en kommentar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *