For at beregne arealet A(x) mellem den vandrette akse samt en funktion $latex f(x)$, skal vi anvende integration.

Ved integration beregnes med andre ord det grønne område under grafen og den vandrette akse. Arealet er en funktion af x, det vil sige arealet vokser i x. Jo større område funktion dækker på x-aksen, des større bliver det grønne område og dermed også arealet. I alle tilfælder ønsker man at beregne arealet mellem den vandrette akse og funktionen $latex f(x)$ i et afgrænset interval. I matematik på B - niveau, beregner man normalt arealet for den del af funktionen $latex f$, der ligger over den vandrette akse, dvs. for $latex f(x)>0$.

Det bestemte integral

Vi har nedenunder afgrænset et interval på x-aksen, som vi vil beregne arealet for.

I dette tilfælde kan vi beregne det grønne areal, der løber fra $latex a$ til $latex b$ på den vandrette akse (x-aksen) og vandrette akse og funktionen $latex f(x)$ på den den lodrette akse (y-aksen) ved følgende formel.

Hvis $latex f(x)>0$ er kontinuert i intervallet $latex [a; b]$ med stamfunktionen $latex F$. Da beregnes arealet mellem $latex f$ og den vandrette akse ved:

$latex F(b)-F(a)$

$latex A=\int_a^b f(x)\,\text{d}x=[F(x)]^b_a=F(b)-F(a)$

Vi integrerer altså med andre ord funktionen $latex f(x)$ over intervallet $latex [a; b]$ for at beregne arealet mellem funktionen og grafen for $latex f(x)$. De 2 tal, $latex a$ og $latex b$ bliver kaldt for integrationsgrænserne, det vil sige at vi integrerer mellem $latex a$ og $latex b$ på den vandrette akse. Siden vi integrerer mellem et bestemt interval på x-aksen, kalder vi integralet for det bestemte integral. Ovenstående sætning er sand for $latex f(x)>0$.

Bevis

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/11/Bestemte-integraler.mp4"][/video]

I tilfælde af, at $latex f(x)<0$, vil grafen for denne samt den vandrette akse stadig danne et areal. I disse tilfælde kan vi naturligvis også beregne arealet mellem grafen og den vandrette akse.

Hvis $latex f(x)<0$ er kontinuert i intervallet $latex [a; b]$ med stamfunktionen $latex F$. Da beregnes arealet mellem $latex f$ og den vandrette akse ved:

$latex F(a)-F(b)$

$latex A=-\int_a^b f(x)\,\text{d}x=-[F(x)]^b_a=F(a)-F(b)$

Da vi beregner et areal giver det bestemte integral et tal, hvorimod det ubestemte integral giver en stamfunktion.

$latex \int_a^b f(x)\,\text{d}x=\text{et tal}$

$latex \int f(x)\,\text{d}x=\text{en funktion}$

Lad os se et taleksempel om, hvorledes vi udregner et bestemt integral og dermed beregne arealet af en funktion $latex f(x)$.

Eksempel

lad os tage udgangspunkt i følgende funktion

$latex f(x)=x^2+2$

Vi ønsker nu at beregne arealet af området under grafen for $latex f(x)$ og den vandrette akse fra 1 til 3. Ifølge vores teori må arealet være lig med integralet af funktionen fra 1 til 3.

$latex A=\int_1^3 x^2+1\,\text{d}x=\left[\frac{1}{3}x^3+x\right]^3_1=\frac{1}{3}3^3+3-\left(\frac{1}{3}3^1+1\right)=12-2=10$

Vi får altså et areal på 10, vi starter altså med at tage udgangspunkt i vores funktion $latex f(x)$, herefter bestemmer vi det ubestemte integral, hvorefter vi tager integrationsgrænserne i betragtning.

Prøv nu at teste dig selv ved at løse

$latex \int^3_1 x^2+2x\,\text{d} x$

Se løsningen

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/11/Opg_STX1.mp4"][/video]

Indskudsreglen

Hvis vi antager at funktionen $latex f(x)$ er kontinuert i intervallet $latex I$, da kan intergrationen foretages særskilt i hvert interval. Da gælder der for tallene $latex a$, $latex b$ og $latex c$.

$latex \int_a^b f(x)\,\text{d}x=\int_a^c f(x)\,\text{d}x+\int^b_c f(x)\,\text{d}x$

Bevis

$latex \int_a^c f(x)\,\text{d}x+\int_c^b f(x)\,\text{d}x=[F(x)]^c_a+[F(x)]^b_c$

$latex =F(c)-F(a)+F(b)-F(c)$

$latex =F(b)-F(a)$

$latex =\int_a^b f(x)\,\text{d}x$

Regneregler

Vi vil opsummere de vigtigste regneregler indenfor integration herunder. Vi antager, at $latex f$ er en kontinuerlig funktion i et interval, der indeholder konstanterne $latex a$, $latex b$ og $latex c$.

$latex \int_a^c f(x)\,\text{d}x+\int_c^b f(x)\,\text{d}x=\int_a^b f(x)\,\text{d}x$

$latex \int_a^a f(x)\,\text{d}x=0$

$latex \int_a^b c\cdot f(x)\,\text{d}x=c\cdot \int_a^b f(x)\,\text{d}x$

$latex \int_a^b f(x)\,\text{d}x=-\int_b^a f(x)\,\text{d}x$

Opgaver           

1. Beregn her arealet af det gule skraverede område, når vi får at vide at $latex f(x)$ har følgende forskrift

$latex f(x)=e^{\frac{x}{2}}-4$

2. Diskuter kort om arealet for det skraverede område fundet, er rimelig?

Se løsningen

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/11/Opg15_STX2.mp4"][/video]

Udregn følgende integraler

a) $latex f_1(x)=e^{2x}, \quad\quad\quad a=2, \quad b=4$

b) $latex f_2(x)=x-x^3-x^5, \quad a=-2, \quad b=2$

Se løsningen

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/11/Bestemt-integral.mp4"][/video]

Udregn følgende integraler

a) $latex f_1(x)=\int_0^2(x+8^2+2)\,\text{d}x$

b) $latex f_2(x)=\int_1^3\left(\frac{1}{x}+2x^{-1}\right)\,\text{d}x$

Se løsningen

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/11/bestemt-integral-3.mp4"][/video]

Udregn følgende integral

a) $latex b(t)=\frac{1}{k}(1-e^{-kt}), \quad\quad k=2, \quad a=0, \quad b=2$

Se løsningen

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/11/bestemt-integration.mp4"][/video]