Beregning af differentialkvotienter

I forbindelse med løsning af mange opgaver på både B samt A-niveau, får man ofte brug for at bestemme en differentialkvotient. I foregående sektioner har vi lært at fortolke differentialkvotienten som hældningen for en tangent. Vi vil i denne sektion bestemme de afledede funktioner af en række simple potensfunktioner ved hjælp af blyantmetoden. Vi har tidligere set, at vi kan anvende tretrinsreglen til at bestemme den afledede, dvs. bestemme differentialkvotienten i ethvert punkt i en kontinuerlig “pæn” funktion. Der findes heldigvis en række simple regneregler for at differentiere en række bestemte udtryk, som vi vil kigge nærmere på her.

Differentialkvotienten af en konstant

Differentialkvotienten af en konstant \(k\) er 0:

\(f(x)=k\rightarrow f'(x)=0\)

Bevis

Ved anvendelse af tretrinsreglen differentierer vi en funktion af typen \(f(x)=k\), hvor \(k\) er en konstant.

\(a_s=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\frac{k-k}{\Delta x}=\frac{0}{\Delta x}=0\)

Vi ser at differenskvotienten ikke afhænger af \(x\)da \(f(x)\) blot er en konstant og faktisk ikke en funktion af \(x\).

Differentialkvotienten af en potens

En potens har følgende differentialkvotient

\(f(x)=x^n\rightarrow f'(x)=n\cdot x^{n-1}\)

Visse matematikbøger skriver \(f'(x)\) som:

\(f'(x)=\frac{d(x^n)}{dx}n\cdot x^{n-1}\)

Vi sætter altså her eksponenten ned foran og sætter en eksponent, der er præcis en lavere end den gamle, det vil sige vi trækker 1 fra den gamle eksponent.

Det skal her også lige nævnes for en god ordensskyld at visse matematikbøger fremstiller en potens med roden/grundtallet \(a\).

\(n\cdot x^{n-1}=n\cdot a^{n-1}\)

Lad os kigge på et par eksempler

\(f(x)=x^2\rightarrow f'(x)=2\cdot x\)
\(g(x)=x^4\rightarrow f'(x)=3\cdot x^3\)
\(h(x)=x^{-3}\rightarrow f'(x)=-3\cdot x^{-4}\)

Opgaver                                                                                                                                                 

Udregn differentialkvotienten for følgende simple potensfunktioner

  1. \(f(x)=x^3,\quad\text{for }f(3)\)
  2. \(f(x)=\frac{1}{4}x^2,\quad\text{for }f(2)\)
  3. \(f(x)=\sqrt{x}+2,\quad\text{for }f(2)\)
  4. \(f(x)=5\sqrt{x},\quad\text{for }f(1)\)
  5. \(f(x)=\frac{1}{x},\quad\text{for }f(2)\)

Se løsningerne

 

Differentiér følgende regnestykker

  1. \(3x^5+2x^2+x+2\)
  2. \(\frac{1}{2}x^3-x^7+x^2+12x\)
  3. \(-\frac{1}{4}x^{-1}+3x^{-3}+2x^2\)

Se løsningerne

4 Kommentarer

  1. Mariem Dali

    Hej, jeg sidder med en opgave der minder om den I har skrevet op.
    Jeg sidder med opgaven, og jeg kan ikke komme videre.

    En funktion er givet ved
    f(x) = 1/2x^2 + 2x + 1

    Bestem differentiale kvotienten for f

    Svar
  2. Jonathan Lindahl

    Hej Mariem

    Hvis du bruger følgende:

    $$f(x)=x^n\rightarrow f'(x)=n\cdot x^{n-1}$$

    Så kan du ligetil beregne differentialkvotienten for f. Dvs.:

    $$f(x)=\frac{1}{2}x^2+2x+1 \rightarrow f'(x)=2\cdot\frac{1}{2}x^{2-1}+1\cdot2x^{1-1}=x+2$$

    Evt. prøv at se den sidste video her på siden – det forklarer det mere dybdegående.
    Håber det kan hjælpe dig. 🙂

    Svar
  3. Emma

    Hej,
    Jeg sidder med opgave som jeg ikke lige kan få til at passe på jeres eksempler, og sidder fast:
    Find differentialkvotienten ved funktionen som er givet ved
    f(x)=x-3/x+3

    Svar
  4. Jonathan Lindahl

    Hej Emma

    Hvis du ser den nederste eksempel i den første video, burde du kunne differentiere den nævne funktion.
    Du kan prøve at se, om du kan komme frem til resultatet:

    $$f'(x)=1+\frac{3}{x^2}$$

    Spørg endelig, hvis du har spørgsmål. 🙂

    Svar

Indsend en kommentar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.