Beregning af differentialkvotienter

I forbindelse med løsning af mange opgaver på både B samt A-niveau, får man ofte brug for at bestemme en differentialkvotient. I foregående sektioner har vi lært at fortolke differentialkvotienten som hældningen for en tangent. Vi vil i denne sektion bestemme de afledede funktioner af en række simple potensfunktioner ved hjælp af blyantmetoden. Vi har tidligere set, at vi kan anvende tretrinsreglen til at bestemme den afledede, dvs. bestemme differentialkvotienten i ethvert punkt i en kontinuerlig “pæn” funktion. Der findes heldigvis en række simple regneregler for at differentiere en række bestemte udtryk, som vi vil kigge nærmere på her.

Differentialkvotienten af en konstant

Differentialkvotienten af en konstant \(k\) er 0:

\(f(x)=k\rightarrow f'(x)=0\)

Bevis

Ved anvendelse af tretrinsreglen differentierer vi en funktion af typen \(f(x)=k\), hvor \(k\) er en konstant.

\(a_s=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=\frac{k-k}{\Delta x}=\frac{0}{\Delta x}=0\)

Vi ser at differenskvotienten ikke afhænger af \(x\), da \(f(x)\) blot er en konstant og faktisk ikke en funktion af \(x\).

Differentialkvotienten af en potens

En potens har følgende differentialkvotient

\(f(x)=x^n\rightarrow f'(x)=n\cdot x^{n-1}\)

Visse matematikbøger skriver \(f'(x)\) som:

\(f'(x)=\frac{d(x^n)}{dx}n\cdot x^{n-1}\)

Vi sætter altså her eksponenten ned foran og sætter en eksponent, der er præcis en lavere end den gamle, det vil sige vi trækker 1 fra den gamle eksponent.

Det skal her også lige nævnes for en god ordensskyld at visse matematikbøger fremstiller en potens med roden/grundtallet \(a\).

\(n\cdot x^{n-1}=n\cdot a^{n-1}\)

Lad os kigge på et par eksempler

\(f(x)=x^2\rightarrow f'(x)=2\cdot x\)
\(g(x)=x^4\rightarrow f'(x)=3\cdot x^3\)
\(h(x)=x^{-3}\rightarrow f'(x)=-3\cdot x^{-4}\)

Opgaver                                                                                                                                                 

Udregn differentialkvotienten for følgende simple potensfunktioner

1. \(f(x)=x^3,\quad\text{for }f(3)\)
2. \(f(x)=\frac{1}{4}x^2,\quad\text{for }f(2)\)
3. \(f(x)=\sqrt{x}+2,\quad\text{for }f(2)\)
4. \(f(x)=5\sqrt{x},\quad\text{for }f(1)\)
5. \(f(x)=\frac{1}{x},\quad\text{for }f(2)\)

Se løsningerne

Differentiér følgende regnestykker

1. \(3x^5+2x^2+x+2\)
2. \(\frac{1}{2}x^3-x^7+x^2+12x\)
3. \(-\frac{1}{4}x^{-1}+3x^{-3}+2x^2\)

Se løsningerne