Andengradspolynomier

Vi skal her undersøge egenskaber ved andengradspolynomier. Når vi skal bestemme de steder på x-aksen, hvor en andengradspolynomium skærer, skal vi løse en andengradsligning på følgende form

\(ax^2+bx+c=0,\quad a\neq 0\)

Læg mærke til, at \(a\) koefficienten skal være forskellig fra 0. Hvis \(a=0\), så reduceres vores andengradsligning ned til en førstegradsligning.

Eksempler på andengradsligninger kan være

\(2x^2+4x+2=0\)

\(x^2+2x-4=0\)

I den øverste ligning har vi, at \(a=2\), \(b=4\) og endelig \(c=2\). Mens i den nederste ligning har vi, at \(a=1\), \(b=2\) og \(c=-4\).

Når man skal løse en andengradsligning, kan det være en udfordring at isolere \(x\) på de måder vi tidligere har set, da \(x\) er en potens i dette tilfælde. Der findes dog en formel, vi kan anvende til at bestemme \(x\)når vi har med andengradsligninger at gøre.

Formlen hedder nulpunktsformlen

\(x=\frac{-b\pm\sqrt{d}}{2a}\)

\(d=b^2-4ac\)

Den nederste ligning, \(d\), bliver kaldt for diskriminanten. Vi kan diskriminere mellem 3 scenarier. I tilfælde af, at når \(d>0\), så vil der være 2 løsninger. Når \(d=0\), så vil der netop kun være 1 løsning og endelig når \(d<0\), er der ingen løsninger. Dvs.

\(d>0\rightarrow\quad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{d}}{2a}\)

\(d=0\rightarrow\quad x=\frac{-b}{2a}\)

\(d<0\rightarrow\quad \emptyset\)

Bevis

 

Lad os prøve at løse følgende andengradsligning:

\(2x^2+4x+2=0\)

Vi har følgende koefficienter: \(a=2\), \(b=4\) og endelig \(c=2\). Anvender vi nu vores formler, og indsætter værdierne ind på deres pladser, får vi en diskriminant på 0:

\(d=4^2-4\cdot2\cdot2=0\)

Da diskriminanten er på 0, ved vi, at der kun vil være 1 løsning til vores andengradsligning. Vi finder løsningen ved at anvende nulpunktsformlen:

\(x=\frac{-4\pm\sqrt{0}}{2\cdot2}=\frac{-4}{4}=-1\)

Hvis du indsætter løsningen ind på \(x\)’s plads i ligningen, kan du kontrollere om vores løsning er korrekt.:

\(2\cdot(-1)^2+4\cdot(-1)+2=2-4+2=0\)

Eksempel

Se her, hvorledes man bestemmer rødderne til et andengradspolynomium, når der er 2 skæringspunkter.

 

Eksempel

Se her, hvorledes man bestemmer rødderne til et andengradspolynomium, når der er 1 skæringspunkt.

 

Eksempel

Se et tilfælde, hvor der ingen skæringspunkter findes.

 

Opgaver                                                                                                                                             

Udregn følgende andengradsligninger

a. \(4x^2-8x+4=0\)

b. \(5x^2+2x+12=0\)

c. \(2x^2+6x+1=0\)

 

Udregn følgende andengradsligninger

a. \(0,5x^2+2x+2=0\)

b. \(x^2+4x+2=0\)

c. \(2x^2+2x+3=0\)

 

Udregn følgende andengradsligninger

a. \(x^2-5x-6=0\)

b. \(2x^2-4x+7=0\)

1-til-1 matematikundervisning




15 Kommentarer

  1. Jonathan Lindahl

    Hej Dennis

    Ja, det kan du tror, at vi gerne vil hjælpe med. 🙂

    Det første vi skal have gjort er at omskrive den ligning du har. Det kan vi gøre vha. kvadratsætningen, som siger, at:
    $$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$$
    Dvs. vi kan omskrive venstre side af lighedstegnet således:
    $$(x+3)^2=3x+34+3x$$
    $$x^2+3^2+2\cdot x\cdot 3=3x+34+3x$$
    $$x^2+6x+9=3x+34+3x$$
    Herefter rykker vi alt over på den ene side. Dvs.
    $$x^2+6x+9-3x-34-3x=0$$
    $$x^2-25=0$$
    Prøv herefter at løse ligningen vha. nulpunktsformlen (se formlen i denne artikel), og se om du ikke når frem til det rette resultat. Hvis du har problemer eller ikke helt forstår ovenstående fremgangsmetode, så sig endelig til.

    Vil meget gerne hjælpe. 🙂

    Svar
  2. Dennis

    Ok, så der kommer til at stå lignende:

    0^2 – 4 * 1 * (-25) = -100, eller opløfter de to minus tegn det indre minustegn ved (-25) så det bliver til +25?

    Svar
  3. Jonathan Lindahl

    Ja, du har ret i, at diskriminanten så bliver:
    $$0^2-4\cdot1\cdot(-25)$$
    Dvs. vi får:
    $$-4\cdot1\cdot(-25)$$
    Når vi ganger minus med minus, får vi plus. Dvs. resultatet bliver derfor 100 og ikke -100. Så du skal tage kvadratroden af 100 i nulpunktsformlen.

    Svar
  4. Dennis

    Tak for hjælpen. Det fedt man lige kan få opfrisket hukommelsen lidt. Ha en god dag 🙂

    Svar
  5. Jonathan Lindahl

    Velbekomme. Glad for at kunne hjælpe.
    I lige måde! 🙂

    Svar
  6. Dennis

    Ok, så hvis jeg har ligningen: 3(x+1)^2

    Så er metoden her vel korrekt; 3x^2+9+2ab 2x

    3x^2+2x+9

    nulpunkt: 2^2 – 4 * 3 * 9 = -104

    Svar
  7. Jonathan Lindahl

    Når jeg ved kvadratsætningen skriver a og b, så skal du erstatte det med dem du har i din ligning. Dvs. tager vi udgangspunkt i:
    $$3(x+1)^2$$
    Så er x dit a, og 1 er dit b.

    For overskuelighedens skyld løser vi først (x+1)^2 vha. kvadratsætningen, hvorefter vi kan gange 3 på. Dvs. vi får
    $$(x+1)^2=x^2+1^2+2\cdot x\cdot 1=x^2+2x+1$$
    Herefter kan vi gange 3 på. Så vi får:
    $$3(x^2+2x+1)=3x^2+6x+3$$

    Herefter kan du bruge nulpunktsformlen til at løse denne ligning. Husk, at 3 er dit a, 6 er dit b, og 3 er dit c.

    Giver det mening?

    Svar
  8. Dennis

    Hej, ja det giver mening.

    Jeg er kommet til at gange før jeg har udregnet potensen, det er der jeg har lavet fejlen.

    Tak for hjælpen

    Svar
  9. Dennis

    Okay, sidste spørgsmål –

    Min ligning -3(x-5)(x+6) -3x-15 , nu skal jeg så gange hver med det enkelte led i den anden parentes;

    -3x*x = -3x^2-18x v -3*-5 = 15, 15*x = 15x+15*6=90

    så ligningen hedder;
    -3x^2-18x+15x+90; omskrevet til

    -3x^2-3x+90 – er det korrekt forstået

    Svar
  10. Jonathan Lindahl

    Jeg tag lige den hele, så jeg er sikker på, at du forstår det. 🙂

    Vi starter med at omskrive (x-5)(x+6). Her ganger vi først x med (x+6), hvorefter vi ganger -5 med (x+6). Dvs. vi får:
    $$x^2+6x-5x-30$$
    Hvilket er lig:
    $$x^2+x-30$$
    Giver det mening?
    Vi kan altså nu erstatte (x-5)(x-6) med (x^2+x-30) i ligningen. Dvs. vi får:
    $$-3(x^2+x-30)-3x-15$$
    $$-3x^2-3x+90-3x-15$$
    $$-3x^2-6x+75$$
    Giver dette mening? Du må endelig sige til, hvis du ikke forstår det.

    Et tip: Prøv at indsætte et vilkårligt tal ind i stedet for x i den oprindelige funktion og den omskrevet funktion. Hvis resultatet bliver det samme, så har du lavet en rigtig omskrivning.

    Nu skal vi prøve at finde 2. gradsfunktionens nulpunkter. Fra funktionen kan vi se, at a = – 3, b = – 6 og c = 75.
    Vi udregner først diskriminanten:
    $$d=-6^2-4\cdot(-3)\cdot75=936$$
    Da d > 0, har vi altså 2 nulpunkter. Vi kan nu indsætte det i vores nulpunktsformel:
    $$x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{936}}{2\cdot(-3)}$$
    Dette giver os de to følgende nulpunkter:
    $$x_1=-6,099\quad x_2=4,099$$
    Giver det mening? Du må endelig sige til, hvis der er et sted, hvor du ikke forstår det.

    Svar
  11. Dennis

    Jeg har muligvis kommet til at forvirre lidt i mit indlæg 😀

    Ligningen jeg snakker om hedder -3(x-5)(x+6) de der (-3x-15) var noget jeg skrev som hovedregning, det tror jeg du misfortolkede måske til at være en del af ligningen.

    Det jeg så gør er at, jeg ganger den første parentes med -3 på hver led, så der kommer til at stå: (-3x+15)

    Nu tager jeg så det første led i den første parentes og gange med det første led i den anden parentes; altså -3x * x hvilket givet -3x^2, nu tager jeg så det andet led i den anden parentes; +6*-3x =-18x.

    Nu har jeg [-3x^2-18x] ved at bruge -3x på begge led i den anden parentes.

    Nu tager jeg så det andet led i den første parentes og gør det samme:

    -*- gav plus, så -3*-5 bliver til 15: —– –

    15 * x = 15x, første led i anden parentes:
    andet led hedder 15*6 = 90

    Så nu har jeg andengradsligningen -3x^2-18x+15x+90 – er det ikke korrekt?

    Svar
  12. Jonathan Lindahl

    Ah, okay.

    Jo, det er helt rigtigt. Du kan dog yderligere reducere din fundne andengradsligning, således:
    $$-3x^2-18x+15x+90$$
    bliver til:
    $$-3x^2-3x+90$$
    Men jo, du har gjort det rigtigt. Godt klaret. 🙂

    Svar
  13. Adda

    Hej,
    Hvad er et andengradspolynomiums egenskaber?

    Svar

Indsend en kommentar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret.