Andengradspolynomier

Vi skal her undersøge egenskaber ved andengradspolynomier. Når vi skal bestemme de steder på x-aksen, hvor en andengradspolynomium skærer, skal vi løse en andengradsligning på følgende form

\(ax^2+bx+c=0,\quad a\neq 0\)

Læg mærke til, at \(a\) koefficienten skal være forskellig fra 0. Hvis \(a=0\), så reduceres vores andengradsligning ned til en førstegradsligning.

Eksempler på andengradsligninger kan være

\(2x^2+4x+2=0\)

\(x^2+2x-4=0\)

I den øverste ligning har vi, at \(a=2\), \(b=4\) og endelig \(c=2\). Mens i den nederste ligning har vi, at \(a=1\), \(b=2\) og \(c=-4\).

Når man skal løse en andengradsligning, kan det være en udfordring at isolere \(x\) på de måder vi tidligere har set, da \(x\) er en potens i dette tilfælde. Der findes dog en formel, vi kan anvende til at bestemme \(x\)når vi har med andengradsligninger at gøre.

Formlen hedder nulpunktsformlen

\(x=\frac{-b\pm\sqrt{d}}{2a}\)

\(d=b^2-4ac\)

Den nederste ligning, \(d\), bliver kaldt for diskriminanten. Vi kan diskriminere mellem 3 scenarier. I tilfælde af, at når \(d>0\), så vil der være 2 løsninger. Når \(d=0\), så vil der netop kun være 1 løsning og endelig når \(d<0\), er der ingen løsninger. Dvs.

\(d>0\rightarrow\quad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{d}}{2a}\)

\(d=0\rightarrow\quad x=\frac{-b}{2a}\)

\(d<0\rightarrow\quad \emptyset\)

Bevis

 

Lad os prøve at løse følgende andengradsligning:

\(2x^2+4x+2=0\)

Vi har følgende koefficienter: \(a=2\), \(b=4\) og endelig \(c=2\). Anvender vi nu vores formler, og indsætter værdierne ind på deres pladser, får vi en diskriminant på 0:

\(d=4^2-4\cdot2\cdot2=0\)

Da diskriminanten er på 0, ved vi, at der kun vil være 1 løsning til vores andengradsligning. Vi finder løsningen ved at anvende nulpunktsformlen:

\(x=\frac{-4\pm\sqrt{0}}{2\cdot2}=\frac{-4}{4}=-1\)

Hvis du indsætter løsningen ind på \(x\)’s plads i ligningen, kan du kontrollere om vores løsning er korrekt.:

\(2\cdot(-1)^2+4\cdot(-1)+2=2-4+2=0\)

Eksempel

Se her, hvorledes man bestemmer rødderne til et andengradspolynomium, når der er 2 skæringspunkter.

 

Eksempel

Se her, hvorledes man bestemmer rødderne til et andengradspolynomium, når der er 1 skæringspunkt.

 

Eksempel

Se et tilfælde, hvor der ingen skæringspunkter findes.

 

Opgaver                                                                                                                                             

Udregn følgende andengradsligninger

a. \(4x^2-8x+4=0\)

b. \(5x^2+2x+12=0\)

c. \(2x^2+6x+1=0\)

 

Udregn følgende andengradsligninger

a. \(0,5x^2+2x+2=0\)

b. \(x^2+4x+2=0\)

c. \(2x^2+2x+3=0\)

 

Udregn følgende andengradsligninger

a. \(x^2-5x-6=0\)

b. \(2x^2-4x+7=0\)

0 kommentarer

Indsend en kommentar

Din e-mailadresse vil ikke blive publiceret. Krævede felter er markeret med *