Vi skal her undersøge egenskaber ved andengradspolynomier. Når vi skal bestemme de steder på x-aksen, hvor en andengradspolynomium skærer, skal vi løse en andengradsligning på følgende form

$latex ax^2+bx+c=0,\quad a\neq 0$

Læg mærke til, at $latex a$ koefficienten skal være forskellig fra 0. Hvis $latex a=0$, så reduceres vores andengradsligning ned til en førstegradsligning. Eksempler på andengradsligninger kan være

$latex 2x^2+4x+2=0$

$latex x^2+2x-4=0$

I den øverste ligning har vi, at $latex a=2$, $latex b=4$ og endelig $latex c=2$. Mens i den nederste ligning har vi, at $latex a=1$, $latex b=2$ og $latex c=-4$. Når man skal løse en andengradsligning, kan det være en udfordring at isolere $latex x$ på de måder vi tidligere har set, da $latex x$ er en potens i dette tilfælde. Der findes dog en formel, vi kan anvende til at bestemme $latex x$, når vi har med andengradsligninger at gøre. Formlen hedder nulpunktsformlen

$latex x=\frac{-b\pm\sqrt{d}}{2a}$

$latex d=b^2-4ac$

Den nederste ligning, $latex d$, bliver kaldt for diskriminanten. Vi kan diskriminere mellem 3 scenarier. I tilfælde af, at når $latex d>0$, så vil der være 2 løsninger. Når $latex d=0$, så vil der netop kun være 1 løsning og endelig når $latex d<0$, er der ingen løsninger. Dvs.

$latex d>0\rightarrow\quad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{d}}{2a}$

$latex d=0\rightarrow\quad x=\frac{-b}{2a}$

$latex d<0\rightarrow\quad \emptyset$

Bevis

[video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/10/bevis-2gradsligning.mp4"][/video]   Lad os prøve at løse følgende andengradsligning: $latex 2x^2+4x+2=0$ Vi har følgende koefficienter: $latex a=2$, $latex b=4$ og endelig $latex c=2$. Anvender vi nu vores formler, og indsætter værdierne ind på deres pladser, får vi en diskriminant på 0:

$latex d=4^2-4\cdot2\cdot2=0$

Da diskriminanten er på 0, ved vi, at der kun vil være 1 løsning til vores andengradsligning. Vi finder løsningen ved at anvende nulpunktsformlen:

$latex x=\frac{-4\pm\sqrt{0}}{2\cdot2}=\frac{-4}{4}=-1$

Hvis du indsætter løsningen ind på $latex x$'s plads i ligningen, kan du kontrollere om vores løsning er korrekt.:

$latex 2\cdot(-1)^2+4\cdot(-1)+2=2-4+2=0$

Eksempel Se her, hvorledes man bestemmer rødderne til et andengradspolynomium, når der er 2 skæringspunkter. [video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/10/andengrads.mp4"][/video]   Eksempel Se her, hvorledes man bestemmer rødderne til et andengradspolynomium, når der er 1 skæringspunkt. [video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/10/Andengradslig2.mp4"][/video]   Eksempel Se et tilfælde, hvor der ingen skæringspunkter findes. [video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/10/andengrads1.mp4"][/video]   Opgaver                                                                                                                                              Udregn følgende andengradsligninger a. $latex 4x^2-8x+4=0$ b. $latex 5x^2+2x+12=0$ c. $latex 2x^2+6x+1=0$ [video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/10/andengradsligning.mp4"][/video]   Udregn følgende andengradsligninger a. $latex 0,5x^2+2x+2=0$ b. $latex x^2+4x+2=0$ c. $latex 2x^2+2x+3=0$ [video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/10/andengradsligning-1.mp4"][/video]   Udregn følgende andengradsligninger a. $latex x^2-5x-6=0$ b. $latex 2x^2-4x+7=0$ [video width="768" height="576" mp4="https://matlet.dk/wp-content/uploads/matlet.dk/2013/10/anvendelse-af-kvadratiske-formel.mp4"][/video]   Få en-til-en privatundervisning i matematik. Et 5-ugers forløb tilpasset dine behov der gør dig bedre til matematik og forberede dig på eksamen. Du får 1-til-1 undervisning af en erfaren matematiklære der hjælper til undervisning på gymnasieniveau. Spar 25% i en begrænset periode. 1-til-1 matematikundervisning - Få en uforpligtende samtale i dag