Vi skal her undersøge egenskaber ved andengradspolynomier. Når vi skal bestemme de steder på x-aksen, hvor en andengradspolynomium skærer, skal vi løse en andengradsligning på følgende form
\(ax^2+bx+c=0,\quad a\neq 0\)
Læg mærke til, at \(a\) koefficienten skal være forskellig fra 0. Hvis \(a=0\), så reduceres vores andengradsligning ned til en førstegradsligning.
Eksempler på andengradsligninger kan være
\(2x^2+4x+2=0\)
\(x^2+2x-4=0\)
I den øverste ligning har vi, at \(a=2\), \(b=4\) og endelig \(c=2\). Mens i den nederste ligning har vi, at \(a=1\), \(b=2\) og \(c=-4\).
Når man skal løse en andengradsligning, kan det være en udfordring at isolere \(x\) på de måder vi tidligere har set, da \(x\) er en potens i dette tilfælde. Der findes dog en formel, vi kan anvende til at bestemme \(x\), når vi har med andengradsligninger at gøre.
Formlen hedder nulpunktsformlen
\(x=\frac{-b\pm\sqrt{d}}{2a}\)
\(d=b^2-4ac\)
Den nederste ligning, \(d\), bliver kaldt for diskriminanten. Vi kan diskriminere mellem 3 scenarier. I tilfælde af, at når \(d>0\), så vil der være 2 løsninger. Når \(d=0\), så vil der netop kun være 1 løsning og endelig når \(d<0\), er der ingen løsninger. Dvs.
\(d>0\rightarrow\quad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{d}}{2a}\)
\(d=0\rightarrow\quad x=\frac{-b}{2a}\)
\(d<0\rightarrow\quad \emptyset\)
Bevis
Lad os prøve at løse følgende andengradsligning:
\(2x^2+4x+2=0\)
Vi har følgende koefficienter: \(a=2\), \(b=4\) og endelig \(c=2\). Anvender vi nu vores formler, og indsætter værdierne ind på deres pladser, får vi en diskriminant på 0:
\(d=4^2-4\cdot2\cdot2=0\)
Da diskriminanten er på 0, ved vi, at der kun vil være 1 løsning til vores andengradsligning. Vi finder løsningen ved at anvende nulpunktsformlen:
\(x=\frac{-4\pm\sqrt{0}}{2\cdot2}=\frac{-4}{4}=-1\)
Hvis du indsætter løsningen ind på \(x\)’s plads i ligningen, kan du kontrollere om vores løsning er korrekt.:
\(2\cdot(-1)^2+4\cdot(-1)+2=2-4+2=0\)
Eksempel
Se her, hvorledes man bestemmer rødderne til et andengradspolynomium, når der er 2 skæringspunkter.
Eksempel
Se her, hvorledes man bestemmer rødderne til et andengradspolynomium, når der er 1 skæringspunkt.
Eksempel
Se et tilfælde, hvor der ingen skæringspunkter findes.
Opgaver
Udregn følgende andengradsligninger
a. \(4x^2-8x+4=0\)
b. \(5x^2+2x+12=0\)
c. \(2x^2+6x+1=0\)
Udregn følgende andengradsligninger
a. \(0,5x^2+2x+2=0\)
b. \(x^2+4x+2=0\)
c. \(2x^2+2x+3=0\)
Udregn følgende andengradsligninger
a. \(x^2-5x-6=0\)
b. \(2x^2-4x+7=0\)
Få en-til-en privatundervisning i matematik. Et 5-ugers forløb tilpasset dine behov der gør dig bedre til matematik og forberede dig på eksamen. Du får 1-til-1 undervisning af en erfaren matematiklære der hjælper til undervisning på gymnasieniveau. Spar 25% i en begrænset periode.
1-til-1 matematikundervisning – Få en uforpligtende samtale i dag
https://gyazo.com/09610e15296964557991a4a7ca77ffd7 Hej, har vedlagt et billede. Kan i forklare hvordan man løser denne ligning?
Hej Dennis
Ja, det kan du tror, at vi gerne vil hjælpe med. 🙂
Det første vi skal have gjort er at omskrive den ligning du har. Det kan vi gøre vha. kvadratsætningen, som siger, at:
$$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$$
Dvs. vi kan omskrive venstre side af lighedstegnet således:
$$(x+3)^2=3x+34+3x$$
$$x^2+3^2+2\cdot x\cdot 3=3x+34+3x$$
$$x^2+6x+9=3x+34+3x$$
Herefter rykker vi alt over på den ene side. Dvs.
$$x^2+6x+9-3x-34-3x=0$$
$$x^2-25=0$$
Prøv herefter at løse ligningen vha. nulpunktsformlen (se formlen i denne artikel), og se om du ikke når frem til det rette resultat. Hvis du har problemer eller ikke helt forstår ovenstående fremgangsmetode, så sig endelig til.
Vil meget gerne hjælpe. 🙂
Ok, så der kommer til at stå lignende:
0^2 – 4 * 1 * (-25) = -100, eller opløfter de to minus tegn det indre minustegn ved (-25) så det bliver til +25?
Ja, du har ret i, at diskriminanten så bliver:
$$0^2-4\cdot1\cdot(-25)$$
Dvs. vi får:
$$-4\cdot1\cdot(-25)$$
Når vi ganger minus med minus, får vi plus. Dvs. resultatet bliver derfor 100 og ikke -100. Så du skal tage kvadratroden af 100 i nulpunktsformlen.
Tak for hjælpen. Det fedt man lige kan få opfrisket hukommelsen lidt. Ha en god dag 🙂
Velbekomme. Glad for at kunne hjælpe.
I lige måde! 🙂
Ok, så hvis jeg har ligningen: 3(x+1)^2
Så er metoden her vel korrekt; 3x^2+9+2ab 2x
3x^2+2x+9
nulpunkt: 2^2 – 4 * 3 * 9 = -104
Når jeg ved kvadratsætningen skriver a og b, så skal du erstatte det med dem du har i din ligning. Dvs. tager vi udgangspunkt i:
$$3(x+1)^2$$
Så er x dit a, og 1 er dit b.
For overskuelighedens skyld løser vi først (x+1)^2 vha. kvadratsætningen, hvorefter vi kan gange 3 på. Dvs. vi får
$$(x+1)^2=x^2+1^2+2\cdot x\cdot 1=x^2+2x+1$$
Herefter kan vi gange 3 på. Så vi får:
$$3(x^2+2x+1)=3x^2+6x+3$$
Herefter kan du bruge nulpunktsformlen til at løse denne ligning. Husk, at 3 er dit a, 6 er dit b, og 3 er dit c.
Giver det mening?
Hej, ja det giver mening.
Jeg er kommet til at gange før jeg har udregnet potensen, det er der jeg har lavet fejlen.
Tak for hjælpen
Okay, sidste spørgsmål –
Min ligning -3(x-5)(x+6) -3x-15 , nu skal jeg så gange hver med det enkelte led i den anden parentes;
-3x*x = -3x^2-18x v -3*-5 = 15, 15*x = 15x+15*6=90
så ligningen hedder;
-3x^2-18x+15x+90; omskrevet til
-3x^2-3x+90 – er det korrekt forstået
Jeg tag lige den hele, så jeg er sikker på, at du forstår det. 🙂
Vi starter med at omskrive (x-5)(x+6). Her ganger vi først x med (x+6), hvorefter vi ganger -5 med (x+6). Dvs. vi får:
$$x^2+6x-5x-30$$
Hvilket er lig:
$$x^2+x-30$$
Giver det mening?
Vi kan altså nu erstatte (x-5)(x-6) med (x^2+x-30) i ligningen. Dvs. vi får:
$$-3(x^2+x-30)-3x-15$$
$$-3x^2-3x+90-3x-15$$
$$-3x^2-6x+75$$
Giver dette mening? Du må endelig sige til, hvis du ikke forstår det.
Et tip: Prøv at indsætte et vilkårligt tal ind i stedet for x i den oprindelige funktion og den omskrevet funktion. Hvis resultatet bliver det samme, så har du lavet en rigtig omskrivning.
Nu skal vi prøve at finde 2. gradsfunktionens nulpunkter. Fra funktionen kan vi se, at a = – 3, b = – 6 og c = 75.
Vi udregner først diskriminanten:
$$d=-6^2-4\cdot(-3)\cdot75=936$$
Da d > 0, har vi altså 2 nulpunkter. Vi kan nu indsætte det i vores nulpunktsformel:
$$x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{936}}{2\cdot(-3)}$$
Dette giver os de to følgende nulpunkter:
$$x_1=-6,099\quad x_2=4,099$$
Giver det mening? Du må endelig sige til, hvis der er et sted, hvor du ikke forstår det.
Jeg har muligvis kommet til at forvirre lidt i mit indlæg 😀
Ligningen jeg snakker om hedder -3(x-5)(x+6) de der (-3x-15) var noget jeg skrev som hovedregning, det tror jeg du misfortolkede måske til at være en del af ligningen.
Det jeg så gør er at, jeg ganger den første parentes med -3 på hver led, så der kommer til at stå: (-3x+15)
Nu tager jeg så det første led i den første parentes og gange med det første led i den anden parentes; altså -3x * x hvilket givet -3x^2, nu tager jeg så det andet led i den anden parentes; +6*-3x =-18x.
Nu har jeg [-3x^2-18x] ved at bruge -3x på begge led i den anden parentes.
Nu tager jeg så det andet led i den første parentes og gør det samme:
-*- gav plus, så -3*-5 bliver til 15: —– –
15 * x = 15x, første led i anden parentes:
andet led hedder 15*6 = 90
Så nu har jeg andengradsligningen -3x^2-18x+15x+90 – er det ikke korrekt?
Ah, okay.
Jo, det er helt rigtigt. Du kan dog yderligere reducere din fundne andengradsligning, således:
$$-3x^2-18x+15x+90$$
bliver til:
$$-3x^2-3x+90$$
Men jo, du har gjort det rigtigt. Godt klaret. 🙂
Hej,
Hvad er et andengradspolynomiums egenskaber?
Hej Adda
Tak for dit spørgsmål.
Prøv at se den vedhæftede fil i tråden her: https://www.studieportalen.dk/forums/Thread.aspx?id=1041525
Den giver en fin oversigt over andengradspolynomiumets egenskaber. 🙂