Vi har set, hvorledes vi løser ligninger både grafisk og ved at løse ligninger. Hvergang vi løser en ligning finder vi altid hvornår ligningen får samme funktionsværdi \(y\). Det vil sige, hvilken \(x\)–værdi resulterer i ens \(y\)-værdier for de 2 ligninger. I mange situationer vil man derimod eksempelvis også være interesseret i at finde ud af, for hvilke \(x\)-værdier en funktion \(f(x)\) vil have højere funktionsværdier end \(g(x)\).
Uligheder
Vi skal her se, hvorledes vi løser uligheder. Grundreglen for løse uligheder er næsten de samme som ligninger:
Man kan lægge samme tal til samt trække samme tal fra på begge sider af et ulighedstegn. Man kan uden videre gange og dividere med samme positive tal på begge sider af et ulighedstegn. Hvis man ganger eller dividerer med et negativt tal, skal ulighedstegnet vendet. Man kan ikke gange eller dividere med nul.
Lad os kigge på et konkret tal eksempel
Vi ser her i figuren funktionerne \(f(x)\) samt \(g(x)\). Det er nemt at se, at disse 2 funktioner har et skæringspunkt. Det vil sige at for en specifik \(x\)-værdi, vil \(f(x)\) og \(g(x)\) have præcis samme \(y\)-værdi. For alle andre \(x\)-værdier må de have forskellige \(y\)-værdier. Vi kan se, at \(f(x)<g(x)\) for \(x\)–værdier op til skæringspunktet \(f(x)=g(x)\) og \(f(x)>g(x)\) efter skæringspunktet.
Lad os prøve at løse uligheden \(f(x)>g(x)\), når \(f(x)=x+6\) og \(g(x)=\frac{1}{3}x+8\).
\(x+6>\frac{1}{3}x+8\)
\(x\cdot3+6\cdot3>\frac{1}{3}x\cdot3+8\cdot3\)
\(3x+18>x+24\)
\(3x+18-x>x+24-x\)
\(2x+18>24\)
\(2x+18-18>24-18\)
\(\frac{2x}{2}>\frac{6}{2}\)
\(x>3\)
Vi ser altså at, uligheden er sand for alle \(x\)-værdier større end 3.
Opgaver
Udregn følgende uligheder:
a) \(7x-11\leq 3x+5\)
b) \(4x-2(3x-10)<\frac{1}{3}x\cdot 3+8\cdot 3\)
c) \(((4x)^{-1}-4)x+12x<4\)
Udregn følgende uligheder:
a) \(3+2x<\frac{3}{2}(2x-2)\)
b) \(12x+10\leq 12+14x\)
c) \(x+5>x+5\)
