Skal man differentiere summen/differensen mellem to differentiable funktioner \(f(x)\) og \(g(x)\), skal man bruge sum-/differensreglen. Mens skal man differentiere en funktion, som er ganget med en konstant, så skal man bruge konstantreglen.
Sum-/differensreglen
Skal man differentiere summen (differensen) af to differentiable funktioner, skal man bruge sumreglen (differensreglen). Hvis \(h(x)\) er en differentiabel funktion bestående af summen/differensen af \(f(x)\) og \(g(x)\), så gælder det, at
$$h(x)=f(x)\pm g(x) \rightarrow h'(x)=f'(x)\pm g'(x)$$
Dvs. man differentierer hvert led for sig selv.
I nedenstående video kan du se beviset for sumreglen. Hvis du har gejsten, kan du på tilsvarende vis prøve at bevise differensreglen. Det vil sige for \(h(x)=f(x)-g(x)\).
Eksempel
Vi ønsker at differentiere \(h(x)\) mht. \(x\):
$$h(x)=7x+3x^4$$
Vi kan dele ligningen op således, at \(f(x)=7x\) og \(g(x)=3x^4\). Ved at differentiere de to ligninger, får vi
$$ f'(x)=7 \quad g'(x)=12x^3$$
Ved differentiering af \(h(x)\), skal vi altså bare lægge de to sammen. Dvs.
$$h'(x)=7+12x^3$$
Konstantreglen
Hvis vi skal differentiere en funktion, der er ganget med en konstant, så skal vi KUN differentiere funktionen og lade konstanten stå. Hvis vi antager, at \(g(x)\) er en differentiabel funktion og \(k\) er en konstant, så gælder det, at
$$f(x)=k\cdot g(x) \rightarrow f'(x)=k\cdot g'(x)$$
Selve beviset for sætningen kan ses i videoen herunder.
Eksempel
Vi ønsker at differentiere \(h(x)\) mht. \(x\):
$$h(x)=10\cdot \sqrt{x}$$
Da en 10 er en konstant, kan vi bare lade den stå. Så vi skal kun differentiere \(\sqrt{x}\). Dvs.
$$h'(x)=10\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{5}{\sqrt{x}}$$
