Substitutionsmetoden ved integralregning

Vi har tidligere kigget på integralregning og set at integralregning på mange måder er en slags omvendt differentialregning. Vi skal her kigge nærmere på en teknik indenfor integralregning, som kaldes for integration ved substitution. Visse funktioner som vi skal integrere kan godt være temmelig udfordrende at integrere ved hjælp af de få almindelige regneregler indenfor integralregning.

I modsætning til differentiation, hvor vi har en række nyttige regler som produktreglen, brøkreglen og mange andre, så findes der ikke ret mange fasteregler når man skal integrere funktioner. Vi vil her se 2 eksempler på, hvorledes vi nogle gange kan integrere ved substitution, når vi har en sammensat funktion. Lad os først tage udgangspunkt i en kontinuert funktion, \(f\), og en differentiabel funktion, \(g\), der har en kontinuert afledt, \(g’\). Der gælder at, hvis \(F\) er en stamfunktion til \(f\), gælder der nemlig så, at

\(\int f(g(x))\cdot g'(x)\, \text{d}x=F(g(x))\)

Og vi kan naturligvis også gå “tilbage” igen ved at differentiere, da integration og differentiation jo er hinandens omvendte regnearter

\((F(g(x)))’=F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x))\cdot g'(x)\)

Eksempel 1

Vi har her integralet

\(\int 3x^2\cdot e^{x^3-5}\,\text{d}x\)

Læg her mærke til, at hvis vi sætter \(x^3-5\) til \(u\), så har vi altså

\(u=x^3-5\rightarrow \frac{\text{d}u}{\text{d}x}=3x^2\leftrightarrow \text{d}x=\frac{\text{d}u}{3x^2}\)

Substituere vi nu \(\text{d}x\) ind i vores integral, får vi

\(\int 3x^2\cdot e^u\cdot\frac{\text{d}u}{3x^2}\)

Hvilket giver os

\(\int e^u\,\text{d}u\)

Det er nu meget lettere at integrere. Vi får nu, at

\(e^u+c\)

Vi substituerer tilbage igen og får

\(e^{x^3-5}+c\)

Eksempel 2

Vi ønsker her at bestemme integralet

\(\int (2x+6)^5\,\text{d}x\)

Vi anvender igen substitution og erstatter den indre funktion med \(u\)

\(u=2x+6\rightarrow \frac{\text{d}u}{\text{d}x}=2 \leftrightarrow \text{d}x=\frac{\text{d}u}{2}\)

Substituerer vi nu, fås

\(\int u^5 \frac{\text{d}u}{2} \leftrightarrow \frac{1}{2}\int u^5\text{d} u \leftrightarrow \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}u^6+c\)

Vi får altså

\(\frac{1}{12}(2x+6)^6+c\)

Nu kan vi teste vores kundskaber ved at prøve at løse integral opgaver

Opgaver

Bestem følgende integraler

a) \(F_1(x)=\int x(3x^2+1)^4\text{d} x\)

b) \(F_2(x)=\int 4xe^{3x^2}\text{d} x\)

Løsning

Opgaver

Bestem følgende integraler

a) \(F_1(x)=\int (x^2+10)^{10}2x\,\text{d}x\)

b) \(F_2(x)=\int (\cos(y))^2\sin(y)\,\text{d}x\)

Løsning