Stokastisk variabel

Lad os her tage udgangspunkt i en mønt. En mønt har som bekendt 2 sider – plat og krone. Kaster vi mønten i luften og fanger den igen, kan den lande på enten plat eller krone. Vores udfaldsrum i dette tilfælde vil derfor være

\(U=\{\text{plat}, \text{krone}\}\)

Sandsynligheden for at få plat er 50 %, da \(P(\text{plat})=\frac{1}{2}=0,5=50\%\). Sandsynligheden for at få krone er også 50 %, da \(P(\text{krone})=\frac{1}{2}=0,5=50\%\). 

Da udfaldet af plat og krone begge er identiske, dvs. begge er på 50 %, siger man at udfaldet er en stokastisk variabel. Vi har ingen anelser om vi får plat eller krone på forhånd. Det samme gør sig naturligvis gældende for terningkast. Vi kender jo ikke udfaldet inden terningen er kastet og landet på en bestemt antal øjne.

Middelværdi af stokastisk variabel

For en stokastisk variabel \(X\), der kan indtage en bestemt antal værdier \(m\) med sandsynlighederne

\(P(X=m_1), P(X=m_2), P(X=m_3),\ldots, P(X=m_n)\)

er middelværdien defineret som et vægtet gennemsnit af \(m\)–værdierne.

\(\mu=\sum^n_{i=1}m_i\cdot P(X=m_i)\)

Eksempel

Lad os kigge på et eksempel, hvor vi antager at vi har 2 terninger

Vi ønsker her at summe antallet af øjne, som vi kalder for \(X\). \(X\) er en stokastisk variabel, idet vi ikke på forhånd kan forudsige udfaldet. Da vi kaster med 2 terninger kan \(X\) indtage værdierne \(2,3,4,\ldots,12\). Sandsynligheden for at slå 4 er eksempelvis \(P(4)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}\). Vi kan nu på tilsvarende vis opstille følgende sandsynlighedsfelt

Vi kan nu beregne middelværdien af antal øjne til 7

\(\mu=2\cdot P(X=2)+3\cdot P(X=3)+\ldots+12\cdot P(X=3)=7\)

Uafhængige hændelser

Tager vi udgangspunkt i et lille eksperiment med terningekast kan vi konstatere at hændelserne er uafhængige af hinanden. Hvis du eksempelvis kaster en terning, er sandsynligheden for at slå en 6’er, \(\frac{1}{6}\). Hvert kast er uafhængig af den forrige kast, dvs. at kaster du en terning 3 gange i håb om at slå tre 6’er, er sandsynligheden pr. gang den samme nemlig, \(\frac{1}{6}\).

Der gælder at, hvis man udfører mange eksperimenter lige efter hinanden som er uafhængige, får man den samlede sandsynlighed for en bestemt hændelse, ved at gange sandsynlighederne fra hvert af eksperimenterne med hinanden.

I tilfældet med terningekastet fås

\(\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\left(\frac{1}{6}\right)^3\)

Eksempel

I et eksempel, hvor vi forestiller os en ekperiment, hvor vi først kaster en enkelt terning og herefter 2 terninger samtidigt. Vi vil nu bestemme sandsynligheden for at slå en sekser i den første terningekast efterfulgt af 10 øjne i den næste kast med 2 terninger som

\(\frac{1}{6}\cdot \frac{3}{36}=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{12}=\frac{1}{72}\)