Stamfunktion og ubestemte integral

I differentialregning så vi hvorledes vi bestemmer \(f'(x)\), når vi kender \(f(x)\). Vi differentierer altså \(f(x)\) med hensyn til \(x\) for at bestemme \(f'(x)\). Men nogle gange er det nødvendigt at gå tilbage til \(f(x)\) fra \(f'(x)\). I denne sektion skal vi se, hvorledes vi kan bestemme \(f(x)\), når vi kender \(f'(x)\). 

At integrere er med andre ord det omvendte til at differentiere. Når vi integrerer, ønsker vi altså at bestemme stamfunktionen, det vil sige den funktion som vi kender den afledede funktion til.

Eksempel

\(f'(x)=3x^2 \rightarrow f(x)=x^3\)

fordi

\(f(x)=x^3 \rightarrow f'(x)=3x^2\)

Stamfunktioner

Når man regner baglæns på differentiation, så bestemmer man stamfunktionen. Vi kan mere generelt definere dette som

\(F'(x)=f(x)\)

Det vil sige at en funktion \(F(x)\) vil være stamfunktion til \(f(x)\), hvis \(F'(x)=f(x)\).

Vær opmærksom på her, at ligesom at vi under differentiation skriver \(f'(x)\) for den afledede af \(f(x)\), så skriver vi under integration \(F(x)\) for stamfunktionen til \(f(x)\).

Når vi skal bestemme stamfunktionen, skal vi altså tænke omvendt differentiation. Tager vi udgangspunkt i en potensfunktion, så kan vi altså differentiere funktionen \(f(x)\) ved at sige

\(f(x)=x^n \rightarrow f'(x)=n\cdot x^{n-1}\)

Da integration er det omvendte til differentiation er reglen for at integrere en funktion \(f(x)\) som følger

\(f(x)=x^n \rightarrow F(x)=\frac{1}{n+1}x^{n+1}\)

Hvor \(n\) ikke må være lig -1. Lad os tage et par eksempler

\(f(x)=x^2 \rightarrow F(x)=\frac{1}{2+1}x^{2+1}=\frac{x^3}{3}\)

\(f(x)=x^{-2} \rightarrow F(x)=\frac{1}{-2+1}x^{-2+1}=-x^{-1}\)

Konstantreglen for integration

Man kan integrere en konstant (fast tal) gange en funktion ved simpelthen at lade konstanten stå og så integrere funktionen. Hvis vi antager her at \(g\) er en integrabel funktion og \(k\) en konstant, så gælder der

\(f(x)=k\cdot g(x)\rightarrow F(x)=k\cdot g(x)+c\)

hvor \(c\) står for “constant”, hvilket betyder konstant på dansk. Konstanten \(c\) bliver kaldt for integrationskonstanten.

Som tidligere nævnt så er integration den omvendte regning til differentiation. Der er dog en særlig egenskab ved integration i forhold til differentiation. Når man differentiere en funktion ender man med én bestemt afledet funktion. Dette er ikke tilfældet ved integration. En given integrabel funktion kan have mange stamfunktioner. Eksempelvis, hvis \(f(x)=3\), så er \(F(x)=3x+c\), hvor \(c\) kan antage alle værdier.

Sumregel/differensregel for integration

Denne regel er præcis den samme som for differentiation, idet man integrerer sum/differens ved at integrere hvert led for sig og lægge integrationskonstanten \(c\) til.

\(h(x)=f(x)\pm g(x)\rightarrow H(x)=F(x)\pm G(x)+c\)

De 3 førnævnte sætninger er de vigtigste regneregler for integration.

Ubestemt integral

Man kalder en stamfunktion til funktionen \(f(x)\) ofte for et integral af \(f(x)\) og skrives ved et integraltegn.

\(F(x)=\int f(x) \,\text{d}x \leftrightarrow F'(x)=f(x)\)

Eksempel

\(f(x)=x^2 \rightarrow F(x)=\int x^2\,\text{d}x=\frac{x^3}{3}\)

\(f(x)=x^{-2} \rightarrow F(x)=\int x^{-2}\,\text{d}x=-x^{-1}\)

Vigtige stamfunktioner

\(f(x)=\sqrt{x} \rightarrow F(x)=\int \sqrt{x}\,\text{d}x=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\)

\(f(x)=e^x \rightarrow F(x)=\int e^x\,\text{d}x=e^x\)

\(f(x)=\frac{1}{x} \rightarrow F(x)=\int \frac{1}{x}\text{d}x=\ln{x}\)

\(f(x)=\sin(x) \rightarrow F(x)=\int \sin(x)\,\text{d}x=-\cos{x}\)

\(f(x)=\cos(x) \rightarrow F(x)=\int \cos(x)\,\text{d}x=\sin(x)\)

Eksempel

Beregn stamfunktionen

\(F(x)=\int\left(\frac{3}{x}-4e^{-4x}\right) \,\text{d}x\)

Opgaver

Integrer følgende 4 stykker:

a) \(f_1(x)=x^4\)

b) \(f_2(x)=x^{-2}\)

c) \(f_3(x)=2x^{1/2}\)

d) \(f_4(x)=3x^2\)

Løsning

Opgaver

Integrer følgende 4 stykker:

a) \(f_1(x)=2x^3+x\)

b) \(f_2(x)=-3x^{-2}+\sqrt{x}\)

c) \(f_3(x)=2e^x+\frac{1}{x}\)

d) \(f_4(x)=x^2+4\)

Løsning