Hvis man skal differentiere produktet eller en division mellem to differentiable funktioner \(f(x)\) og \(g(x)\), skal man bruge hhv. produkt- eller kvotientreglen.
Produktregel
Ved differentiering af produktet mellem to differentiable funktioner \(f(x)\) og \(g(x)\), skal man bruge produktreglen:
\(h(x)=f(x)\cdot g(x) \rightarrow h'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\)
En måde hvorpå man kan huske produktreglen er at sige, at man skal “differentiere, ikke-differentiere + ikke-differentiere, differentiere”. Du kan se beviset for sætningen i nedenstående video.
Eksempel
Vi ønsker at differentiere \(h(x)\) mht. \(x\):
\(h(x)=(2x^2+3)\cdot x^3\)
Her kan vi dele den op således, at \(f(x)=2x^2+3\) og \(g(x)=x^3\). Ved at differentiere de to funktioner, får vi
\(f'(x)=4x \quad g'(x)=3x^2\)
Bruger vi nu produktreglen, får vi
$$ h'(x)=4x\cdot x^3+(2x^2+3)\cdot 3x^2 \\ =4x^4+(6x^4+9x^2) \\ =10x^4+9x^2$$
Kvotientreglen
Kvotientreglen (også kendt som brøkreglen), får man tit brug for, når man læser matematik på B og A-niveau. Med denne regel kan man differentiere en division mellem to differentiable funktioner \(f(x)\) og \(g(x)\):
$$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow h'(x)=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g(x)^2}$$
Du kan se selve beviset for sætninger i nedenstående video.
Eksempel
Vi ønsker at differentiere \(h(x)\) mht. \(x\).
$$h(x)=\frac{2x^2+3}{x^3}$$
Vi kan dele \(h(x)\) op således, at \(f(x)=2x^2+3\) og \(g(x)=x^3\). Differentierer vi \(f(x)\) og \(g(x)\), får vi
$$ f'(x)=4x \quad g'(x)=3x^2$$
Bruger vi nu kvotientreglen, får vi
$$ h'(x)=\frac{4x\cdot x^3-(2x^2+3)\cdot 3x^2}{(x^3)^2} \\ =\frac{4x^4-6x^4-9x^2}{x^6} \\ =\frac{-2x^4-9x^2}{x^6} \\ =\frac{-(2x^2+9)x^2}{x^6} \\ =-\frac{2x^2+9}{x^4}$$
Opgaver
Differentier følgende funktioner:
$$\text{a)} \quad (x+4)(x^3+2) \\ \text{b)} \quad \frac{1}{2}\sqrt{x}+\frac{1}{x}+12 \\ \text{c)} \quad e^x\cdot x^2$$
Se løsningerne
Differentier følgende funktion(svær opgave):
$$ \text{a)} \quad p(x)=\frac{3e^x}{5x-2}\cdot\frac{\ln(x)}{x} $$
Se løsningen
