I denne lektion skal vi igen se, hvorledes vi kan bestemme en fleregradspolynomiums rødder ved substitutionsmetoden. Vi har tidligere set at vi ved polynomiums division kan bestemme rødderne til et fleregradspolynomium. Der findes dog flere måder at finde rødderne til polynomier af højere grad. Vi kan anvende substitutionsmetoden til at bestemme en fleregradspolynomiums rødder, hvis polynomiet har lige grad.
Substitutionsmetoden
Det kræver en god portion kreativitet til at bestemme et fleregradspolynomiums rødder. Vi har set, at vi kan bestemme et polynomiums rødder ved hjælp af division. I særlige tilfælde kan vi anvende substitutionsmetoden. Disse særlige tilfælde, hvor vi kan anvende metoden er, når polynomiet er har følgende grader.
\(f(x)=x^4+2x^2-5\)
eller
\(g(x)=2x^4-x^2+1\)
Eksempel
Lad os kigge på et eksempel
\(f(x)=x^4-4x^2+3\)
Erstat nu \(x^2\) med \(y\) i forskriften
\(f(x)=y^2-4y+3\)
Vi har nu en andengradsligning som vi kan løse, dvs. finde nulpunkterne ved hjælp af nulpunktsformlen.
\(y_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
Vi indsætter nu koefficienter ind på deres pladser
\(y_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot3}}{2\cdot1}\)
\(y=\{1,3\}\)
Nu er vi ikke interesseret i \(y\), men derimod \(x\). Husk nu, at vi har sat \(x^2=y\). Derfor gælder der
\(x^2=y \leftrightarrow \sqrt{x^2}=\sqrt{y} \leftrightarrow x=\sqrt{y}\)
For at finde rødderne til 3. gradspolynomiet, skal vi bestemme \(x\)
\(y=\{1,3\} \leftrightarrow x^2=\{1,3\} \leftrightarrow x=\{\sqrt{1}, \sqrt{3}\}\)
Vi har her bestemt løsningerne til et trejdegradspolynomium ved hjælp af substitutionsmetoden.
Opgave
Udregn rødderne til følgende fjerdegradspolynomium.
\(f(x)=15x^4-4x^2-11\)
Udregn rødderne til følgende fjerdegradspolynomium.
\(f(x)=2x^4-2x^2-11\)
