Vi har indtil videre set, hvorledes vi via funktionsanalyse blandt andet bestemmer minima og maksima og toppunktet for en parabel. Vi har dog ikke rigtig sat det i perspektiv, det vil sige, hvorledes vi kan rent faktisk kan anvende disse beregner i praksis i det virkelige liv. Eksempelvis kunne det tænkes at en produktionschef i en større produktionsvirksomhed, ønsker at bestemme den optimale antal medarbejdere, der skal til for at maksimere profitten. En professionel sportsmand ønsker måske at beregne den mængde proteiner, der optimere hans performance eller landmanden der ønsker at beregne den mængde gødning, der maksimere kornvæksten. Optimering ved anvendelse af matematiske modeller indenfor økonomi er meget vigtige, vi skal her se nærmere på, hvad det vil sige at optimere.
Optimering med \(f'(x)\)
En differentiabel funktion har maksimum eller minimum, når \(f'(x)=0\). Det vil sige, at når funktions afledte \(f'(x)\) har et bestemt tal, \(x\), for hvilket resultatet af den afledte vil give nul, \(f'(x)=0\). Det kan enten være funktionens minimum eller maksimum. Lad os tage et simpelt eksempel, vi ønsker at beregne \(f'(x)=0\) for følgende funktion og undersøge om det er et minimum eller maksimum.
\(f(x)=3x^2-6x+3,\quad\quad x\in[0,3]\)
Funktionen er differentiabel og \(f'(x)=6x-6\). I dette tilfælde er \(x=1\) løsningen til \(f'(x)=0\). Vi har med andre ord en vendetangent i punktet \(x=1\). Da vi har med en andengradspolynomium at gøre, må vi enten have et minimum eller maksimum. Da vi ser, at det første led \(3x^2\) er positivt, må parablens ben vende benene op. Derfor må \(f'(x)=0\) angive et minimum. Vi har, at \(f(1)=0\). Vi kan nemt kontrollere ved at indsætte nedre samt øvre grænse ind, dvs. \(f(0)=3\) og \(f(3)=12\).
Funktionen \(f(x)\) kunne tænkes at angive en omkostningsfunktion for en produktionsvirksomhed som funktion af bestanddele til produktionen af en maskine. Vi ville så se, at en enkelt bestanddel vil minimere omkostningen i forbindelse med produktionen.
Lad os nu antage, at vi har følgende funktion
\(f(x)=e^{x-1}-x\)
vi antager at funktionens definitionsmængde udgør mængden af alle reelle tal, det vil sige at funktionen er defineret over hele \(x\)-aksen. Vi ønsker nu at bestemme funktionens minimum.
Løsning
\(f(x)=e^{x-1}-1\rightarrow f'(x)=e^{x-1}\)
I dette tilfælde er \(x=1\) løsningen til \(f'(x)=0\). Vi har med andre ord en vendetangent i punktet \(x=1\). Vi har, at \(f(1)=0\). Vi kan nemt kontrollere ved at indsætte et lavere \(x\)-værdi samt højere \(x\)-værdi ind, \(f(0)=0,37\) og \(f(2)=0,72\). Vi får også dette bekræftet ved at kigge på figuren.
Vi har nu set, hvorledes vi finder en funktions minimum. I de følgende opgaver skal vi ved hjælp af differentiation løse et praktisk problemstilling.
Opgave 1
Peter går til metal sløjd i sin fritid. Han beslutter sig en dag for at lave en skraldespand til hans garage. Der plejer at hobe sig meget skrald op i Peters garage. Derfor ønsker han at konstruere en skraldespand med det største rumfang.
Antag at skraldespandens volume som funktion af en variabel \(r\) er beregnet til:
\(V(r)=\frac{r}{r^2+4},\quad\quad r\geq0\)
- Redegør for, at Peter bør anvende en \(r\) værdi på 2.
Løsning
Opgave 2
En virksomhed producerer et antal dimser, kaldt for AB. Virksomheden sælger et stykke AB til 200 kr.
Virksomhedens omkostningsfunktion kan defineres ved:
\(O(x)=0,04x^3-2,5x^2+150x+1500\)
- Bestem det antal stk. AB, som giver det største overskud og bestem dette overskud
- Uddyb figuren nedenunder og sammenlign med resultatet fra spg. 1.
Løsning
