Kapitalfremskrivningsformlen

Når du sætter dine penge i banken, vokser dine penge, fordi banken betaler en rente. Kapitalfremskrivningsformlen (også kaldt for renteformlen eller fremskrivningsformlen) kan bruges til at beregne, hvor mange penge du har efter endt opsparing.

Sætter du f.eks. 1.000 kr. i banken til 3 % i rente pr. år, med årlig rentetilskrivning, vil du efter det første års forløb have følgende på din konto:

\(1.000+1.000 \cdot 0,03=1.030\)

Ofte vil man have pengene stående mere end et år. Her kan man ikke længere tage udgangspunkt i startkapitalen, da der efter det første år er tilskrevet renter til startkapitalen. Derfor bliver man ved næste rentetilskrivning (f.eks. efter to år) nødt til at tage udgangspunkt i startkapitalen + den første rentetilskrivning. Osv. ved de efterfølgende rentetilskrivninger. Det er her, at kapitalfremskrivningsformlen bliver brugbar.

Kapitalfremskrivningsformlen ser således ud:

\(K_n=K_0\cdot(1+r)^n\)

Hvor \(K_n\) er slutkapitalen, \(K_0\) er startkapitalen, \(r\) er den terminslige rentesats og \(n\) er antallet af terminer, hvor der sker en rentetilskrivning. Kapitalfremskrivningsformlen viser os altså, hvor stort beløbet er efter \(n\) terminer med den samme rentesats, \(r\). Med kapitalfremskrivningsformlen kan vi altså bestemme fremtidsværdien af enhver værdi, så længe vi kender antallet af terminer samt den terminslige rentesats.

I stedet for notationen \(K\), bruges der nogen gange \(A\). Dvs. kapitalfremskrivningsformlen kan også skrives således:

\(A_n=A_0\cdot(1+r)^n\)

Hvor \(A_n\) nu er slutkapitalen, mens \(A_0\) er startkapitalen. Men betydningen er den samme.

Eksempel

1.000 kr. indsættes i banken til en årlig rente på 10 %. Hvad er beløbet efter fire år?

Anvender vi nu kapitalfremskrivningsformlen får vi følgende:

\(K_3=1.000\cdot(1+0,1)^4=1.464\)

Efter de fire år vil de 1.000 kr. altså være steget til 1.464 kr. Du kan se en video af eksemplet herunder.

Udledning af renten

Kender vi startkapitalen, slutkapitalen samt antallet af terminer, kan vi nemt beregne den terminslige rentesats, \(r\). Rentesatsen, \(r\), kan isoleres således:

\(K_n=K_0\cdot (1+r)^n\)
\((1+r)^n=\frac{K_n}{K_0}\)
\(r=\left(\frac{K_n}{K_0}\right)^{\frac{1}{n}}-1\)

Eksempel

1.000 kr. indsættes som opsparing med en årlig rentetilskrivning. Efter 10 år er opsparingen steget til 1.628,895 kr. Hvad har den årlige rentesats været?

Ved at indsætte tallene i formlen ovenover får vi følgende resultat:

\(r=\left(\frac{1.628,895}{1.000}\right)^{\frac{1}{10}}-1=0,05\)

Den årlige rentesats har altså i dette tilfælde været 5 %.

Udledning af antal terminer

På tilsvarende vis kan vi bestemme antallet af terminer, \(n\), når vi kender alle de andre oplysninger. Vi kan udlede \(n\) fra kapitalfremskrivningsformlen således:

\(K_n=K_0\cdot (1+r)^n\)
\((1+r)^n=\frac{K_n}{K_0}\)
\(n\cdot \log(1+r)=\log(K_n)-\log(K_0)\)
\(n=\frac{\log(K_n)-\log(K_0)}{\log(1+r)}\)

Eksempel

1.000 kr. indsættes på en konto med en årlig rentetilskrivning på 10%. Hvor mange år går der før, at opsparing er steget til 1.610,51 kr.?

Ved at indsætte tallene i ovenstående formel får vi følgende resultat:

\(n=\frac{\log(1.610,51)-\log(1.000)}{\log(1+0,1)}=5\)

Der går altså 5 år før, at opsparingen stiger til 1.610,51 kr.

Udledning af startkapitalen

Vi kan naturligvis også bestemme startkapitalen, hvis vi kender de andre oplysninger. Vi udleder \(K_0\) fra kapitalfremskrivningsformlen således:

 \(K_n=K_0\cdot (1+r)^n\)
\(K_0=\frac{K_n}{(1+r)^n}\)

Eksempel

Med er årlig rentetilskrivning på 7 % er vores opsparing efter 5 år steget til 1.402,552 kr. Hvad var startkapitalen?

Vi indsætter tallene i ovenstående formel og får følgende resultat:

\(K_0=\frac{1.402,552}{(1+0,07)^5}=1.000\)

Vores startkapital var altså i dette eksempel 1.000 kr.