Grundlæggende regneregler

Regning med vektorer er ikke meget anderledes end regning med tal. Vi skal her se, hvorledes man ganger en vektor med et tal, grafisk såvel som algebraisk.

Gange vektorer med tal

Vi ser her, at vi kan forlænge en vektor ved at gange den med et tal. Vi ganger altså et tal med en vektor ved at gange tallet ind på hver række. Vi kan opsummere dette forneden:

Antager vi, at \(t\) er et tal og \(\vec{a}=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2  \end{matrix}\right)\), da gælder der:

\(t\vec{a}=\left(\begin{matrix} ta_1 \\ ta_2  \end{matrix}\right)\)

Der gælder, at:

\(|t\vec{a}|=|t|\cdot|\vec{a}|\)

hvor vektorens længde \(t\vec{a}\) er den numeriske værdi af \(t\) ganget med længden af vektoren \(\vec{a}\).

Sum og differens af vektorer

Vi skal her se, hvorledes vi beregner summen samt differensen af to vektorer. Det er ligeså nemt at beregne disse udregninger som det er at gange et tal med en vektor. Vi starter igen her med at se en geometrisk fortolkning af sum og differens af vektorer efterfulgt af en kort opsummering.

Vi ser her sum samt differens af de to grønne vektorer. Summen samt differensen af de vektorer danner 2 nye vektorer.

Vi ser her foroven en geometrisk illustration af vektorsum. Det er her nemt at se, at vektoren fra \(A\) til \(C\), netop svarer til vektoren fra \(A\) til \(B\) + vektoren fra \(B\) til \(C\).

Ved sum og differens af to vektorer \(\vec{a}=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2  \end{matrix}\right)\) og \(\vec{b}=\left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2  \end{matrix}\right)\), da gælder der:

\(\vec{a}\pm\vec{b}=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2  \end{matrix}\right)\pm\left(\begin{matrix} b_1 \\ b_2  \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} a_1\pm b_1 \\ a_2\pm b_2  \end{matrix}\right)\)

Lad os se på et eksempel

\(\vec{a}=\left(\begin{matrix} 2 \\ 4  \end{matrix}\right)\) og \(\vec{b}=\left(\begin{matrix} 3 \\ 5  \end{matrix}\right)\)

Da får vi:

\(\vec{a}+\vec{b}=\left(\begin{matrix} 2 \\ 4  \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} 3 \\ 5  \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 5 \\ 9  \end{matrix}\right)\)

og endnu et eksempel

\(\vec{a}=\left(\begin{matrix} 2 \\ 4  \end{matrix}\right)\) og \(\vec{b}=\left(\begin{matrix} 3 \\ 5  \end{matrix}\right)\)

Da får vi:

\(\vec{a}-\vec{b}=\left(\begin{matrix} 2 \\ 4  \end{matrix}\right)-\left(\begin{matrix} 3 \\ 5  \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} -1 \\ -1  \end{matrix}\right)\)

Vi samler alle de grundlæggende vektorregneregler herunder:

\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\)

\((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=(\vec{c}+\vec{b})+\vec{a}\)

\(t(\vec{a}+\vec{b})=t\vec{a}+t\vec{b}\)

\(\vec{a}(s+t)=\vec{a}s+\vec{a}t\)

Vi kan nemt bevise samtlige regneregler, da hver koordinat hver for sig adlyder de samme regneregler for tal. Derfor beviser vi blot den sidste regel:

\(\vec{a}(s+t)=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \end{matrix}\right)(s+t)=\left(\begin{matrix} a_1(s+t) \\ a_2(s+t)  \end{matrix}\right)\)

\(=\left(\begin{matrix} a_1s+a_1t \\a_2s+a_2t \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} a_1s \\a_2s \end{matrix}\right)+\left(\begin{matrix} a_1t \\a_2t \end{matrix}\right)\)

\(=\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \end{matrix}\right)s+\left(\begin{matrix} a_1 \\ a_2 \end{matrix}\right)t=\vec{a}s+\vec{a}t\)

Opgaver                                                                                                                                            

Udregn følgende vektorer:

\(t=2,\quad a=\left(\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}\right)\rightarrow t\cdot a\)

\(t=-3,\quad a=\left(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}\right)\rightarrow t\cdot a\)

\(b=\left(\begin{matrix} 3 \\ 3 \end{matrix}\right),\quad a=\left(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}\right)\rightarrow b+a\)

\(b=\left(\begin{matrix} -1 \\ -2 \end{matrix}\right),\quad a=\left(\begin{matrix} 2 \\ 4 \end{matrix}\right)\rightarrow b+a\)

Løsning

Udregn følgende vektorer

\(a=\left(\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}\right),\quad b=\left(\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}\right)\)

a. \(\quad a+b\)

b. \(\quad 2\cdot a+b\)

c. \(\quad 1/2\cdot(a+b)\)

d. \(\quad -1\cdot a+a+b\)

Løsning