Vi skal her se nærmere på, første ordens lineære differensligninger med konstante koefficienter. Disse typer differensligninger er forholdsvis anvendte på videregående økonomistudier, derfor er det vigtigt at kende til grundbegreber samt løsningsformerne. Disse differensligninger kan være udfordrende at bestemme løsningen til, vi vil i denne sektion derfor kun kigge på forholdsvis simple første ordens lineære differensfunktioner. I næste kapitel kigger vi på, anden ordens lineære differensligninger med konstante koefficienter. Formålet her er, at præsentere disse ligninger således at de ikke virker ubekendt, når du går videre i dit uddannelsesforløb.
Vi vil her starte med at kigge på en inhomogen differensligning.
\(x_{t+1}=ax_t+b \quad\quad t=0,1,2,\ldots\)
Vi har altså en lineære inhomogen differensligning med konstante koefficienter. Ligningen her kaldes for inhomogen, da vi her har konstanten \(b\). I forrige kapital havde vi altså en \(b=0\) og man siger at ligningen er homogen. Starter vi her med en kendt \(x(0)\), kan vi også her beregne de efterfølgende \(x(1),x(2),x(3)\ldots x(t)\).
\(x_1=ax_0+b\)
\(x_2=ax_1+b=a(ax_0+b)+b=a^2x_0+(a+1)b\)
\(x_3=ax_2+b=a(a^2x_0+(a+1)b)+b=a^3x_0+(a^2+a+1)b\)
\(\vdots\)
Således kan vi blive ved indtil \(x(t)\). Ligesom i den tidligere lektion, er denne fremgangsmåde ikke helt hensigtsmæssigt, hvis vi eksempelvis skal regne \(x(125)\). Dette kommer til at tage lang tid og vi kan risikere at lave skrivefejl undervejs, som vil resultere i et forkert svar. Læg dog mærke til på højresiderne af ovenstående, der ser ud til at fremkomme et mønster, som vi kan fremhæve herunder.
\(x_t=a^tx_0+(a^{t-1}+a^{t-2}+a^{t-3}+\ldots+a+1)b\)
Der gælder yderligere
\(\frac{(1-a^t)}{(1-a)}=a^t+\cdots+a^3+a^2+a+1, \quad (a\neq 1)\)
Vi kan nu omskrive den ovenstående lineære differensligning til
\(x_{t+1}=ax_t+b \leftrightarrow x_t=a^t\left(x_0-\frac{b}{1-a}\right) +\frac{b}{1-a}, \quad (a\neq 1)\)
Bevis
Eksempel
Vi ønsker at løse følgende differensligning:
\(x_{t+1}=5x_t+2\)
Vi anvender formlen foroven
\(x_t=5^t \left(x_0-\frac{2}{1-5}\right)+\frac{2}{1-5}=5^t\left(x_0+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\)
Opgaver
Løs følgende 2 differensligninger
a) \(x_{t+1}=2x_t+3, \quad\quad\,\, x_0=1\)
b) \(x_{t+1}-2x_t+3=0, \quad x_0=4\)
Løsninger
Løs følgende 2 differensligninger
a) \(x_{t+1}=\frac{1}{2}x_t+3, \quad\quad x_0=1\)
b) \(x_{t+1}=-3x_t+4, \quad\,\,\, x_0=4\)
Løsninger
