Vi har tidligere beskæftiget os med, hvad det vil sige at differentiere en funktion. Dvs. at bestemme dens afledte funktion. Vi går her et skridt længere og introducerer differentialligninger. En differentialligning er en ligning, hvor \(f(x)=y\) er en funktion, hvor dens afledede funktion indgår. Vi har altså de almindelige ligninger \(12=2x-7\) eller \(6=x+3\). Og differentialligningerne \(y’=2x+1\) eller \(y’=2x+4\).
Lad os her starte med en simpel differentialligning:
\(\frac{\text{d} y}{\text{d}x}=2x\)
Ligningen ovenover fortæller os, at væksthastigheden for \(y\) er det dobbelte af \(x\). Her er den ubekendte i ligningen ikke længere et tal, men derimod en funktion. Dette komplicerer udregningerne en smule og kræver en god portion tålmodighed samt en øvelse. For at løse en sådan ligning, det vil sige at få den til at stemme, skal vi ikke blot finde et tal men en forskrift for funktionen y der får ligningen til at blive sand. For at bestemme den funktion, som gør ligningen sand, finder vi ved at integrere.
\(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2x \rightarrow \text{d}y=2x\, \text{d}x \rightarrow y=\int 2x\, \text{d}x \rightarrow y=x^2\)
Indsætter vi nu løsningen ind i \(f(x)=y\), ser vi at ligningen er opfyldt. Spørgsmålet er om vi nu har fundet den eneste løsning til differentialligningen eller om der eksisterer flere løsninger.
Husker vi tilbage på integralregningen, så mindes vi at der var noget der hed integrationskonstanten, \(c\). Vi har altså med andre ord antaget, at vores integrationskonstant i ovenstående er lig med 0, dette er kort gengivet her
\(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2x \rightarrow y=\int 2x\, \text{d}x \rightarrow y=x^2+c \rightarrow y=x^2+0\)
Læg her mærke til, at løsningen altså selv er en funktion. Grafen for løsningen kaldes en løsningskurve eller også blot for en integralkurve.
Vi har her indtegnet differentialligningen sammen med den tilhørende integralkurve. Den blå graf angiver differentialligningen og den røde parabel angiver integralkurven også kaldt for løsningskurven, hvor \(c=0\). Ved at ændre på integrationskonstanten \(c\) kan vi altså flytte kurven op og ned. Der findes med andre ord en løsningskurve gennem et hvilket som helst punkt i planen. Dvs.
Hvis vi har en differentialligning af typen:
\(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=g(x)\)
har for enhver kontinuert funktion \(g\) den fuldstændige løsning:
\(y=\int g(x)\, \text{d}x+c\)
Eksempel
Lad os kigge på et eksempel. Vi har her differentialligningen:
\(y’=\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=3x^2\)
Vi ønsker nu at bestemme den fuldstændige løsning
\(\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=3x^2 \rightarrow y=\int 3x^2\,\text{d}x + c\)
Vi integrerer altså \(3x^2\) og lægger integrationskonstanten \(c\) til. Vi får nu:
\(y=x^3+c\)
Hvor \(c\) er integrationskonstanten.
Opgaver
Bestem den fuldstændige løsning til følgende differentialligninger
\(\text{a)}\, \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=2\sqrt{x}+2\)
\(\text{b)}\, \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{2}x+e^x\)
\(\text{c)}\, 3\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\frac{1}{\sqrt{x}}2x\)
Løsning
