Binomialfordeling

I denne sektion vil vi fokusere på eksperimenter med kun to mulige udfald, som vi kalder succes og fiasko. En møntkast er et af sådanne eksperimenter, enten opnår man succes (krone) eller fiasko (plat). Man kan gentage møntkasten et \(n\)–antal gange, vi kalder \(n\) for antalsparameteren. Sandsynligheden for at opnå succes kalder man for sandsynlighedsparameteren, \(p\). I vores møntkast er sandsynlighedsparameteren \(p\), naturligvis lig med \(\frac{1}{2}\).

Lad os tænke tilbage til terningeksemplet, hvor det drejer sig om at slå en 6’er. I dette tilfælde er sandsynlighedsparameteren \(p\), lig med \(\frac{1}{6}\) og alt andet må være fiasko. Sandsynligheden for fiasko må derfor være lig med \(\frac{5}{6}\) (\(1-p\)). Vi kaster nu vores terning 4 gange og vil se, hvor mange 6’er vi slår. Vi så, at \(p=\frac{1}{6}\), i bedste fald får vi 4 succeser og i værste fald får vi 4 fiaskoer. Vi ønsker nu at beregne sandsynligheden for at de 4 kast resulterer i netop 2 succeser. Vi kan dele vores beregning op i tre trin.

Trin 1

En mulig scenarie kan være

De enkelte kast er uafhængige af hinanden og vi kan derfor beregne den samlede sandsynlighed for disse 4 udfald ved at gange de enkelte sandsynligheder.

\(\frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}=\left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2=0,01929\approx 2\%\)

Sandsynligheden for netop ovenstående scenarie er knap 2%. Vi kunne dog også have fået 2 successer på mange andre måder. Eksempelvis ved følgende kombination

Her giver den samlede sandsynlig

\(\frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}=\left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2=0,01929\approx 2%\)

Det er præcis det samme som før, vi kan konkludere at vi kan opnå to 6’er på mange måder.

Trin 2. 

Vi kan fra trin 1. konkludere at de to 6’er, kan forekomme på flere måder. Hver af disse måder har præcis samme sandsynlighed. Her kan vi med fordel anvende teorien fra kombinatorik, det vil sige formlen \(K(n,r)\) for at beregne antallet af mulige succesfulde hændelser. I dette tilfælde ønsker vi altså at beregne antallet af kombinationer, der vil resulterer i 2 succeser ud af 4 forsøg.

\(K(4,2)=\frac{4!}{2!\cdot(4-2)!}=6\)

Der er altså 6 forskellige måder at opnå to 6’er ud af 4 kast.

Trin 3. 

Vi kan nu samle vores resultater sammen her i trin 3. Vores beregninger viser med andre ord, at sandsynligheden for at opnå to 6’er ud af 4 kast er 0,01929 og at der er 6 forskellige måder, hvorpå vi kan få to 6’er ud af de 4 kast, derfor kan vi beregne den samlede sandsynlighed for at opnå to 6’er som

\(P(X=2)=K(4,2)\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^2=6\cdot 0,01929=0,1157\)

Eksempelvis kan vi også beregne sandsynlighederne for at få henholdsvis nul, en, to, tre og fire 6’er i de 4 terningkast.

\(P(X=0)=K(4,0)\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^0\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^4=0,4823\)

\(P(X=1)=K(4,1)\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^1\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^3=0,3858\)

\(P(X=2)=K(4,2)\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^2=0,1157\)

\(P(X=3)=K(4,3)\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^1=0,0154\)

\(P(X=4)=K(4,4)\cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4\cdot\left(\frac{5}{6}\right)^0=0,0008\)

Kumulerede binomialsandsynligheder

I matematik får man ofte behov for at besvare spørgsmål som, hvad sandsynligheden er for at slå tre 6’er eller mindre.

Sandsynligheden for at slå tre 6’er eller mindre, må jo være summen af sandsynlighederne for at slå henholdsvis nul, en, to eller tre 6’er.

\(P(X\leq 3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0,9987\)

Sandsynligheden for at slå maksimum en 6’er er

\(P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1)=0,8680\)

De kumulerede sandsynligheder kan altså benyttes til at besvare en række spørgsmål, såsom hvad er sandsynligheden for at slå mindst to 6’er? Hvad er sandsynligheden for at man får mellem en og tre 6’er? Osv.

Eksempel

Middelværdi og standardafvigelse

I mange områder, såsom fysik og finansiering har man ofte behov for at danne sig et hurtigt overblik over en fordeling ved at foretage en række målinger. Det kunne være en aktiepriser, obligationer, huspriser og mange andre sammenhænge. Hvis huspriserne eksempelvis gennemsnitligt er steget med 5 % siden sidste nytår, kan det godt være at den i nogle kommuner kun har steget 3 % og i andre kommuner eksempelvis Storkøbenhavn er den steget med 6 %. For den enkelte kommune, vil der være en vis usikkerhed, man kan ikke forvente at alle huspriserne i samtlige kommuner er steget med præcis 5 %.

Erfaringer viser dog at mange fordelinger er normalfordelte. Måler vi prisstigningerne i mange kommuner og herefter konstruerer et histogram, fremkommer en karakteristiske klokkekurve, hvis prisstigningerne er normalfordelte. Klokkekurvens midtpunkt finder man ved middeltallet, afstanden mellem klokkekurvens 2 ben er afhængig af standardafvigelsen. Hvis huspriserne varierer meget fra kommune til kommune fremkommer en større spredningen omkring middeltallet og normalfordelingskurvens ben kommer derfor til at blive stor.

Jo flere målinger man foretager, des mere nøjagtige resultater vil man opnå.

Normalfordelingskurven

Folks højde er normalfordelt. Hvis man eksempelvis måler alle pigernes højde på jeres skole, vil resultatet tilnærmelsesvis blive en klokkeformet histogram

Middelværdi af en population.

\(\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+\ldots+x_n}{n}=\frac{\sum^n_{i=1} x_i}{n}\)

Det bedste estimat for en populations middelværdi er middelværdien af stikprøven.

Standardafvigelse af en populationen

\(\sqrt{\sigma^2(x)}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}{n}}\)

\(\sigma(x)=\frac{\sum^n_{i=1}(x_i-\bar{x})}{n}\)

Ovenover ser vi det bedste estimat for spredningen omkring middelværdien for en population.

\(x=\bar{x}\pm \sigma\)

Ovenfor ses, hvorledes vi bestemmer måleresultatet med usikkerhed. Vi har altså her et interval for vores forventninger.

Repetition