Vil du gerne opnå bedre resultater i matematik?

Vektorer

 

Vektorer

  • 00Dage
  • 00Timer
  • 00Min
  • 00Sek
Mere info
»

Vektorer

Vi har tidligere studeret linjer, cirkler og trekanter i den todimensionale verden. Det vil sige i et “almindeligt” koordinatsystem. Vi skal her beskæftige os med den tredimensionale geometri. Vi starter derfor med at præsentere koordinatsystemet i den tredimensionale verden.

Skærmbillede 2013-12-28 kl. 3.00.40 PM

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                                             Koordinatsystemet ovenfor er standard i den tredimensionale verden. Et punkt P i et koordinatsystem har, som vi ser her 3 koordianter (x,y,z). Som det altså ses nedenfor har vi indtegnet en stedvektor.

Skærmbillede 2013-12-28 kl. 4.40.02 PM

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Som det ses her, har vektorer også koordinaterne (x,y,z) i et tredimensional verden.

Vektorer i rummet

Vektorregning i den tredimensionale verden ligner meget dem fra den todimensionale verden. Lad os antage vi har fået givet 2 vektorer.

Skærmbillede 2013-12-28 kl. 1.46.25 PM

 

 

 

Sum af to vektorer udregnes præcis som i den todimensionale verden. Det samme gøre sig naturligvis også gældende ved differens af to vektorer.

Skærmbillede 2013-12-28 kl. 5.26.07 PM

 

 

 

Man kan også skalér en vektor ved at gange et tal k, med en vektor som i den todimensionale verden.

Skærmbillede 2013-12-28 kl. 1.38.50 PM

                                                                                                                                      Længde- og afstandsformlen

Længde- og afstandsformlen er næsten den samme som i det todimensionale tilfælde, forskellen her er blot, at der er kommet et ekstra led på.

Afstanden mellem disse to punkter A og B

Skærmbillede 2013-12-29 kl. 1.23.25 AM

bliver

Skærmbillede 2013-12-29 kl. 1.24.15 AM

afstanden mellem de to punkter A og længden af ovenstående vektor.

Udledning af længde- og afstandsformlen

 

Lad os kigge på et konkret eksempel med udgangspunkt i to punkter A og B.

Skærmbillede 2013-12-29 kl. 2.06.29 AM

Skalarprodukt

Regnereglerne for prikproduktet også kaldt for skalarproduktet af to vektorer er identisk med regnereglerne for skalarproduktet af vektorer i den todimensionale verden.

Skærmbillede 2013-12-29 kl. 2.21.19 AM

Vinklen mellem to vektorer

Regnereglerne for vinklen mellem to vektorer er stadigvæk præcis den samme som for vektorer i den todimensionale verden

Skærmbillede 2013-12-29 kl. 2.38.29 AM

Projektion af en vektor på en vektor

Den samme formel for projektion af en vektor på en vektor i den tredimensionale verden er identisk med formlen i den todimensionale verden.

Skærmbillede 2013-12-29 kl. 2.40.16 AM

Vektorprodukt

Det er vigtigt at man ikke forveksler vektorproduktet med prikproduktet også kaldt for vektorproduktet. Vektorproduktet bliver også kaldt krydsproduktet.

Skærmbillede 2013-12-29 kl. 3.35.07 AM

For at beregne krydsproduktet anvendes typisk en lommeregner eller anden stærk værktøj, da udregninger i hånden i dette tilfælde kan resultere i småfejl. Krydsproduktet har en række interessante egenskaber, som man bør vide. Nedenunder har vi samlet 4 vigtige egenskaber

Skærmbillede 2013-12-29 kl. 4.04.53 AM

Opgaver

Skærmbillede 2014-01-18 kl. 5.45.33 PM

Se løsning

 

Udregn krydsproduktet af følgende vektorer

Skærmbillede 2014-01-18 kl. 3.56.39 PM

Se løsningen